Калькулятор мод: Онлайн калькулятор: Модулярная арифметика

Если вам не нравится определение по модулю, и вы все еще не знаете, как вычислить по модулю, взгляните на следующий абзац, и все должно стать кристально ясным.

Что такое модульная конгруэнтность?

Два числа, a и b , считаются конгруэнтными по модулю 9.0180, когда их разность a - b делится нацело на n (поэтому (a - b) кратно n ).

Математически формула сравнения по модулю записывается как:

a ≡ b (mod n) ,

и n называется модулем сравнения.

С другой стороны, вы можете сказать, что a и b считаются конгруэнтными по модулю n , когда они оба имеют одинаковый остаток при делении на n:

a mod n = r
b mod n = r

, где r — обычный остаток.

Итак, проще говоря – модульная конгруэнтность возникает, когда два числа имеют одинаковый остаток после одного и того же делителя . Так, например, 24 по модулю 10 и 34 по модулю 10 дают один и тот же ответ: 4. Следовательно, 24 и 34 конгруэнтны по модулю 10.

Давайте посмотрим на другой пример:

9 ≡ 21 (mod 6)

потому что 21 - 9 = 12 кратно 6. Его также можно записать кратко как 6 | (21 - 9) . Или, что то же самое, 21 и 9 имеют одинаковый остаток при делении на 6:

9 mod 6 = 3
21 mod 6 = 3

Как вычислить модуль – пример

Это не трудная задача вычислить модуль вручную. Просто следуйте инструкциям ниже!

1. Начните с выбора начального числа (перед выполнением операции по модулю). Допустим, это 250. Это наш дивиденд.
2. Выберите делитель. Давайте выберем 24. Операция, которую мы хотим рассчитать, будет тогда 250 mod 24 ( 250 % 24 , если использовать другое соглашение).
3. Разделить одно число на другое, округлив в меньшую сторону: 250 / 24 = 10 . Это частное. Кроме того, вы можете думать об этой операции как о целочисленном делении на — типе деления, где нас не интересует дробная часть результата.
4. Умножить делитель на частное. Итак, в нашем примере это 10 × 24 = 240 .
5. Вычтите это число из вашего первоначального числа (дивиденд). Здесь: 250 - 240 = 10 .
6. Полученное число является результатом операции по модулю. Мы можем записать это как 250 mod 24 = 10 .

Как использовать наш калькулятор модов? 10 mod 3 и другие примеры по модулю

Определить модуль по модулю с помощью нашего инструмента легко и удобно. Чтобы найти результат операций по модулю между целыми числами, нужно:

1. Введите начальное число — делимое — в первое поле . Возьмем пример из предыдущих пунктов, поэтому введите 250.
2. Введите делитель . В нашем случае это 24.
3. Тадааа! Наш калькулятор по модулю вернет вам ваш результат – остаток! И это не удивительно; оно равно 10 – тому же числу, которое мы вычислили ранее.

Ниже вы найдете несколько типичных запросов, касающихся модуля:

• 1 мод 1 = 0 (поскольку мод 1 всегда равен 0)
• 1 мод 2 = 1
• 1 мод 3 = 1
• 5 мод 2 = 1
• 5 модуль 3 = 2
• 6 мод 3 = 0
• 7 мод 3 = 1
• 10 мод 3 = 1
• 18 мод 3 = 0
• 100 мод 3 = 1
• 100 мод 7 = 2

Если вы не видите здесь того, что хотите найти, воспользуйтесь нашим калькулятором модуля!

Модульная арифметика

Модульная арифметика — это, вообще говоря, арифметическая система для целых чисел, где числа «обтекают» определенное число. Давайте подытожим то, что мы узнали о различных представлениях операций по модулю — все приведенные ниже утверждения эквивалентны:

• А ≡ В (мод. С)
• А мод С = В мод С
• С | (А - Б)
• A = B + K × C , где K — некоторое целое число.

Мы также можем выполнять расчеты по модулю операций.

1. Модульное сложение и вычитание

(A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C

(A - B) mod C = (A mod C - B) mod C) mod C

Таким образом, модуль суммы двух чисел равен сумме модулей этих чисел, вычисленных отдельно, а затем умноженных на делитель по модулю. Первый этап делается для того, чтобы избавиться от частной части, а затем снова используется операция mod. Посмотрите на пример:

• А = 11, В = 7, С = 4

  (11 + 7) по модулю 4 = (11 по модулю 4 + 7 по модулю 4) по модулю 4

  левая часть уравнения: (11 + 7) по модулю 4 = 18 по модулю 4 = 2

  правая часть уравнения: (11 по модулю 4 + 7 по модулю 4) по модулю 4 = (3 + 3) по модулю 4 = 6 по модулю 4 = 2

Аналогично, вычисления для вычитания такие же.

2. Модульное умножение

(A × B) mod C = (A mod C × B mod C) mod C

Такое уравнение может быть полезно при работе с большими числами, и мы не можем мгновенно узнать модуль этого большого числа. Давайте посмотрим на тот же пример (A = 11, B = 7, C = 4) — сможете ли вы сразу найти результат 77 mod 4 ? 11 mod 4 и 7 mod 4 легче вычислить:

• (11 × 7) по модулю 4 = (11 по модулю 4 × 7 по модулю 4) по модулю 4

  Левая часть уравнения: (11 × 7) mod 4 = 77 mod 4 = 1 9100 mod 3 = (1 × 1) mod 3 = 1

  Для некоторых конкретных случаев существуют даже более быстрые методы модульного возведения в степень (если B является степенью числа 2). Если вы хотите прочитать о них и попрактиковаться в модульной арифметике, воспользуйтесь нашим специальным калькулятором модов мощности.

  Неоднозначность определения по модулю

  Слово по модулю происходит от латинского слова modus , что означает меру . Обычно, когда мы используем слово по модулю , мы имеем в виду операцию по модулю , например, 11 mod 3 равно 2 , так что это просто нахождение остатка. В строгом определении модуль означает:

  .

  По заданному модулю

  или

  A совпадает с B по модулю C, за исключением различий, учитываемых или объясняемых C

  Это определение, о котором мы писали в абзаце о конгруэнтности по модулю.

  Однако по модулю используется не только в математическом контексте. Иногда его можно услышать в бытовом разговоре, где он, вероятно, означает игнорирование, неучет чего-то, с должным учетом чего-то, например,

  На данный момент конструкция была лучшей по модулю тех частей, которые все еще нуждаются в модификации.

  Процент – символ операции по модулю

  Операция по модулю часто используется в языках программирования . Для этого используется % — процент — для обозначения этой операции (или иногда оператор остатка для отрицательных чисел). Если вам интересно узнать о происхождении знака %, мы настоятельно рекомендуем вам прочитать небольшой абзац, который мы составили об истории знака процента.

  Вы должны быть осторожны, так как существует некоторая двусмысленность определения по модулю, когда учитываются отрицательные значения. Есть два возможных варианта для остатка — один отрицательный, а другой положительный — и результат зависит от реализации на выбранном языке программирования.

  Приложения по модулю

  На первый взгляд это может быть неочевидно, но существует множество приложений по модулю — от повседневной жизни до математических и научных задач!

  1. Самый очевидный и известный пример — так называемая часовая арифметика 🕞. Это может быть добавление часов, как в объяснении по модулю выше, а также минут или секунд!

     Никто же не скажет, что "у вас осталось 40 минут и 90 секунд ", верно? Единственный вариант — выполнить операцию по модулю и найти частное и остаток — 60 × 1 + 30 = 90 . 41 минута 30 секунд звучит намного лучше.

  2. Операции по модулю используются для вычисления контрольных сумм серийных номеров. Контрольные цифры используются в основном в длинных числах, и это цифры, вычисляемые алгоритмом. Они должны информировать вас об ошибках, возникающих, например, из-за опечатки. Вы можете найти применение по модулю в следующем:

     • В нашем калькуляторе контрольных цифр:
       • Контрольные цифры GTIN, UPC и EAN используются для подтверждения целостности штрих-кода. Формула для контрольных цифр использует модуль 10.
       • Номера ISBN и ISSN , которые являются уникальными периодическими и книжными идентификаторами, имеют по модулю 11 или по модулю 10.
     • IBAN — Международные номера банковских счетов — используйте модуль 97, чтобы проверить, не ошибся ли клиент при вводе номера.
     • NPI — Национальный идентификатор поставщика услуг США использует операцию по модулю 10 для вычисления десятой цифры.

     Поскольку контрольные цифры используются для выявления ошибок транскрипции, сделанных человеком, они часто используются для длинных серийных номеров. Другие примеры алгоритмов контрольных цифр с использованием операций по модулю:

     • Национальный идентификационный номер (например, в Исландии, Турции, Польше)
     • Финансовый идентификационный номер (Испания)
     • Идентификационный номер автомобиля (США)
     • ...и многое, многое другое.

  3. Он применяется во многих научных областях , таких как компьютерная алгебра, криптография, информатика или простая школьная математика — например, в алгоритме Евклида для вычисления наибольшего общего множителя.

  4. Модуль

     полезен, когда вам нужно расколоть что-то . Примером из реальной жизни может быть обмен пиццей с друзьями или семьей.

  5. В Minecraft можно даже использовать модуль по модулю. mod 64 расскажет вам, сколько полных стопок булыжника вам понадобится, чтобы построить эту статую крипера.

  Предположим, что в большой пицце для вечеринок 10 ломтиков, а вы состоите из трех человек. Сколько кусочков останется, если разделить пиццу поровну?

  Это как раз тот случай, когда можно использовать по модулю! 10 мод 3 = 1 . Другими словами, 10 разделить на 3 равно 3, но остается 1 кусочек 🍕. Это был не самый сложный пример, но мы надеемся, что вы видите полезность модуля.

  О, нет! Мы проголодались. Давайте оставим это вкусное развлечение и вернемся на Землю. Если вам интересно найти более забавные приложения модульной арифметики, ознакомьтесь с этой записью в блоге betterexplained.com.

  Часто задаваемые вопросы

  Что такое модульный оператор?

  Оператор по модулю используется для нахождения остатка при делении двух чисел. Оператор обозначается символом % в большинстве языков программирования.