Калькулятор примеров с дробями по действиям: Онлайн Калькулятор. Вычисления с обыкновенной и десятичной дробями.

Содержание

правило, примеры. Онлайн калькулятор сокращения алгебраических дробей с подробным решением позволяет сократить дробь и перевести неправильную дробь в правильную дробь

В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей . Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Навигация по странице.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Изучая , мы говорили про их сокращение. мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .

Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен , в частности, одночлен или число.

Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3 , что даст дробь . Также можно выполнить сокращение на переменную x , что приведет к выражению . Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x , а также на любой из многочленов x+2·y , 3·x+6·y , x 2 +2·x·y или 3·x 2 +6·x·y .

Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби.

Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?

Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на . Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.

Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.

В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3 . Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x , на y или сразу на x·y . Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1 , но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби. Эта информация будет раскрыта в следующем пункте.

Правило сокращения алгебраических дробей

Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей , которое состоит из двух шагов:

сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби;
если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.

Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении.

Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов , находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби.

При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.

Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются. В результате получается новая дробь более простого вида.

В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби , которое выражается равенством , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c , а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .

Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например,
и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби , после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться . В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3 . Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Пример.

Сократите алгебраическую дробь .

Решение.

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

Ответ:

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю , его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выполните сокращение дроби .

Решение.

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10 . В этом случае имеем .

Ответ:

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя

На первый взгляд алгебраические дроби кажутся очень сложными, и неподготовленный учащийся может подумать, что с ними невозможно ничего сделать. Нагромождение переменных, чисел и даже степеней навевает страх. Тем не менее, для сокращения обычных (например, 15/25) и алгебраических дробей используются одни и те же правила.

Шаги

Сокращение дробей

Ознакомьтесь с действиями с простыми дробями. Операции с обычными и алгебраическими дробями аналогичны. К примеру, возьмем дробь 15/35. Чтобы упростить эту дробь, следует найти общий делитель . Оба числа делятся на пять, поэтому мы можем выделить 5 в числителе и знаменателе:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Теперь можно сократить общие множители , то есть вычеркнуть 5 в числителе и знаменателе. В результате получаем упрощенную дробь 3/7 . В алгебраических выражениях общие множители выделяются точно так же, как и в обычных. В предыдущем примере мы смогли легко выделить 5 из 15 — тот же принцип применим и к более сложным выражениям, таким как 15x – 5. Найдем общий множитель. В данном случае это будет 5, так как оба члена (15x и -5) делятся на 5. Как и ранее, выделим общий множитель и перенесем его

влево .

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Чтобы проверить, все ли правильно, достаточно умножить на 5 стоящее в скобках выражение — в результате получатся те же числа, что были сначала. Сложные члены можно выделять точно так же, как и простые. Для алгебраических дробей применимы те же принципы, что и для обычных. Это наиболее простой способ сократить дробь. Рассмотрим следующую дробь:

(x+2)(x-3) (x+2)(x+10)

Отметим, что и в числителе (сверху), и в знаменателе (снизу) присутствует член (x+2), поэтому его можно сократить так же, как общий множитель 5 в дроби 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3) (x+2) (x+10) → (x+10)

В результате получаем упрощенное выражение: (x-3)/(x+10)

Сокращение алгебраических дробей

Найдите общий множитель в числителе, то есть в верхней части дроби. При сокращении алгебраической дроби первым делом следует упростить обе ее части. Начните с числителя и постарайтесь разложить его на как можно большее число множителей. Рассмотрим в данном разделе следующую дробь:

9x-3 15x+6

Начнем с числителя: 9x – 3. Для 9x и -3 общим множителем является число 3. Вынесем 3 за скобки, как это делается с обычными числами: 3 * (3x-1). В результате данного преобразования получится следующая дробь:

3(3x-1) 15x+6

Найдите общий множитель в числителе. Продолжим выполнение приведенного выше примера и выпишем знаменатель: 15x+6. Как и раньше, найдем, на какое число делятся обе части. И в этом случае общим множителем является 3, так что можно записать: 3 * (5x +2). Перепишем дробь в следующем виде:

3(3x-1) 3(5x+2)

Сократите одинаковые члены. На этом шаге можно упростить дробь. Сократите одинаковые члены в числителе и знаменателе. В нашем примере это число 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Определите, что дробь имеет простейший вид. Дробь полностью упрощена в том случае, когда в числителе и знаменателе не осталось общих множителей. Учтите, что нельзя сокращать те члены, которые стоят внутри скобок — в приведенном примере нет возможности выделить x из 3x и 5x, поскольку полными членами являются (3x -1) и (5x + 2). Таким образом, дробь не поддается дальнейшему упрощению, и окончательный ответ выглядит следующим образом:

(3x-1) (5x+2)

Потренируйтесь сокращать дроби самостоятельно. Лучший способ усвоить метод заключается в самостоятельном решении задач. Под примерами приведены правильные ответы.

4(x+2)(x-13) (4x+8)

Ответ: (x=13)

2x 2 -x 5x

Ответ: (2x-1)/5

Специальные приемы

Вынесите отрицательный знак за пределы дроби. Предположим, дана следующая дробь:

3(x-4) 5(4-x)

Заметьте, что (x-4) и (4-x) “почти” идентичны, но их нельзя сократить сразу, поскольку они “перевернуты”. Тем не менее, (x — 4) можно записать как -1 * (4 — x), подобно тому как (4 + 2x) можно переписать в виде 2 * (2 + x). Это называется “переменой знака”.

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Теперь можно сократить одинаковые члены (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Итак, получаем окончательный ответ: -3/5 . Научитесь распознавать разницу квадратов. Разница квадратов — это когда квадрат одного числа вычитается из квадрата другого числа, как в выражении (a 2 — b 2). Разницу полных квадратов всегда можно разложить на две части — сумму и разницу соответствующих квадратных корней. Тогда выражение примет следующий вид:

A 2 — b 2 = (a+b)(a-b)

Этот прием очень полезен при поиске общих членов в алгебраических дробях.

Проверьте, правильно ли вы разложили то или иное выражение на множители. Для этого перемножьте множители — в результате должно получиться то же самое выражение.
Чтобы полностью упростить дробь, всегда выделяйте наибольшие множители.

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от единицы, называют сокращением дроби .

Чтобы сократить обыкновенную дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.

Примеры. Упростить дроби.

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;

делим знаменатель на 3).

Сокращаем дробь на 7.

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

Сократим данную дробь 4) на 5·7³ — наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который состоит из общих множителей числителя и знаменателя, взятых в степени с наименьшим показателем.

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7² .

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5) .

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7 .

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь 9/14 .

А можно было записать разложения числителя и знаменателя в виде произведения простых множителей, не применяя понятие степени, а затем произвести сокращение дроби, зачеркивая одинаковые множители в числителе и знаменателе. Когда одинаковых множителей не останется — перемножаем оставшиеся множители отдельно в числителе и отдельно в знаменателе и выписываем получившуюся дробь 9/14 .

И, наконец, можно было сокращать данную дробь 5) постепенно, применяя признаки деления чисел и к числителю и к знаменателю дроби. Рассуждаем так: числа 756 и 1176 оканчиваются четной цифрой, значит, оба делятся на 2 . Сокращаем дробь на 2 . Числитель и знаменатель новой дроби — числа 378 и 588 также делятся на 2 . Сокращаем дробь на 2 . Замечаем, что число 294 — четное, а 189 — нечетное, и сокращение на 2 уже невозможно. Проверим признак делимости чисел 189 и 294 на 3 .

(1+8+9)=18 делится на 3 и (2+9+4)=15 делится на 3, следовательно, и сами числа 189 и 294 делятся на 3 . Сокращаем дробь на 3 . Далее, 63 делится на 3, а 98 — нет. Перебираем другие простые множители. Оба числа делятся на 7 . Сокращаем дробь на 7 и получаем несократимую дробь 9/14 .

Калькулятора онлайн выполняет сокращение алгебраических дробей в соответствии с правилом сокращения дробей: замена исходной дроби равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем, т.е. одновременное деление числителя и знаменателя дроби на их общий наибольший общий делитель (НОД). Также калькулятор выводит подробное решение, которое поможет понять последовательность выполнения сокращения.

Дано:

Решение:

Выполнение сокращения дробей

проверка возможности выполнения сокращения алгебраической дроби

1) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби

определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя алгебраической дроби

2) Сокращение числителя и знаменателя дроби

сокращение числителя и знаменателя алгебраической дроби

3) Выделение целой части дроби

выделение целой части алгебраической дроби

4) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

Помощь на развитие проекта сайт

Уважаемый Посетитель сайта.
Если Вам не удалось найти, то что Вы искали — обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.
Если же сайт оказался Ваме полезен — подари проекту сайт всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Порядок действий при сокращении алгебраической дроби калькулятором онлайн:

Чтобы выполнить сокращение алгебраической дроби введите в соответствующие поля значения числителя, знаменателя дроби. Если дробь смешанная, то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если дробь простая, то оставьте поле целой части пустым.
Чтобы задать отрицательную дробь, поставьте знак минус в целой части дроби.
В зависимости от задаваемой алгебраической дроби автоматически выполняется следующая последовательность действий:

определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби ;
сокращение числителя и знаменателя дроби на НОД ;
выделение целой части дроби , если числитель итоговой дроби больше знаменателя.
перевод итоговой алгебраической дроби в десятичную дробь с округлением до сотых.

В результате сокращения может получиться неправильная дробь. В этом случае у итоговой неправильной дроби будет выделена целая часть и итоговая дробь будет переведена в правильную дробь.

II. Для справки:

Дробь — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Обыкновенная дробь (простая дробь) записывается в виде двух чисел (числитель дроби и знаменатель дроби), разделенных горизонтальной чертой (дробной чертой), обозначающей знак деления. числитель дроби — число, стоящее над дробной чертой. Числитель показывает, сколько долей взяли у целого. знаменатель дроби — число, стоящее под дробной чертой. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое. простая дробь — дробь, не имеющая целой части. Простая дробь может быть правильной или неправильной. правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому правильная дробь всегда меньше единицы. Пример правильных дроби: 8/7, 11/19, 16/17. неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей. Пример неправильных дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смешанная дробь — число, в состав которого входит целое число и правильная дробь, и обозначает сумму этого целого числа и правильной дроби. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь. Пример смешанных дробей: 1¼, 2½, 4¾.

III. Примечание:

Блок исходных данных выделен желтым цветом , блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом , блок решения выделен зеленым цветом .
Для сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных или смешанных дробей воспользуйтесь онлайн калькулятором дробей с подробным решением.

Сокращение числитель 12 разделили. Онлайн калькулятор сокращения алгебраических дробей с подробным решением позволяет сократить дробь и перевести неправильную дробь в правильную дробь

В этой статье мы рассмотрим основные действия с алгебраическими дробями :

сокращение дробей
умножение дробей
деление дробей

Начнем с сокращения алгебраических дробей .

Казалось бы, алгоритм очевиден.

Чтобы сократить алгебраические дроби , нужно

1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.

2. Сократить одинаковые множители.

Однако, школьники часто делают ошибку, «сокращая» не множители, а слагаемые. Например, есть любители, которые в дроби «сокращают» на и получают в результате , что, разумеется, неверно.

Рассмотрим примеры:

1. Сократить дробь:

1. Разложим на множители числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель по формуле разности квадратов

2. Разделим числитель и знаменатель на

2. Сократить дробь:

1. Разложим на множители числитель. Так как числитель содержит четыре слагаемых, применим группировку.

2. Разложим на множители знаменатель. Так же применим группировку.

3. Запишем дробь, которая у нас получилась и сократим одинаковые множители:

Умножение алгебраических дробей.

При умножении алгебраических дробей мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.

Важно! Не нужно торопиться выполнять умножение в числителе и знаменателе дроби. После того, как мы записали в числителе произведение числителей дробей, а в знаменателе — произведение знаменателей, нужно разложить на множители каждый множитель и сократить дробь.

Рассмотрим примеры:

3. Упростите выражение:

1. Запишем произведение дробей: в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей:

2. Разложим каждую скобку на множители:

Теперь нам нужно сократить одинаковые множители. Заметим, что выражения и отличаются только знаком: и в результате деления первого выражения на второе получим -1.

Итак,

Деление алгебраических дробей мы выполняем по такому правилу:

То есть чтобы разделить на дробь, нужно умножить на «перевернутую».

Мы видим, что деление дробей сводится к умножению, а умножение, в конечном итоге, сводится к сокращению дробей.

Рассмотрим пример:

4. Упростите выражение:

Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.

Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.

К этому же ответу можем прийти другим путем.

И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.

И еще один вариант решения.

В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .

В дроби — x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x 3 — 1 x 2 — 1 мы можем сократить на х — 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 — x 2 + x — 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

5 5 = 1 ; — 2 3 — 2 3 = 1 ; x x = 1 ; — 3 , 2 · x 3 — 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x — x 2 · y 1 2 · x — x 2 · y ;

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 — 2 3 2 — 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Пример 1

Задана алгебраическая дробь — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = — 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = — 9 · a 3 2 · c 6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = — 3 3 — 1 2 · a 5 — 2 1 · 1 · 1 c 7 — 1 · 1 = · — 3 2 · a 3 2 · c 6 = · — 9 · a 3 2 · c 6 .

Ответ: — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 9 · a 3 2 · c 6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т. е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Пример 3

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 — 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a — 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a — 7) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b — 7 · b .

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример 4

Дана алгебраическая дробь 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · — 2 7 · — 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 1 5 · 3 1 2 = = — 2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10 = — 2 7 · x 5 = — 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = — 2 35 · x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В прошлый раз мы составили план, следуя которому, можно научиться быстро сокращать дроби. Теперь рассмотрим конкретные примеры сокращения дробей.

Примеры .

Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее (числитель на знаменатель или знаменатель на числитель)? Да, во всех трех этих примерах бо́льшее число делится на меньшее. Таким образом, каждую дробь сокращаем на меньшее из чисел (на числитель либо на знаменатель). Имеем:

Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее? Нет, не делится.

Тогда переходим к проверке следующего пункта: а не оканчивается ли запись и числителя, и знаменателя одним, двумя или несколькими нулями? В первом примере запись числителя и знаменателя оканчивается нулем, во втором — двумя нулями, в третьем — тремя нулями. Значит, первую дробь сокращаем на 10, вторую — на 100, третью — на 1000:

Получили несократимые дроби.

Бо́льшее число на меньшее не делится, запись чисел нулями не оканчивается.

Теперь проверяем, а не стоят ли числитель и знаменатель в одном столбце в таблице умножения? 36 и 81 оба делятся на 9, 28 и 63 — на 7, а 32 и 40 — на 8 (они делятся еще и на 4, но если есть возможность выбора, всегда сокращать будем на бо́льшее). Таким образом, приходим к ответам:

Все полученные числа являются несократимыми дробями.

Бо́льшее число на меньшее не делится. А вот запись и числителя, и знаменателя оканчивается нулем. Значит, сокращаем дробь на 10:

Эту дробь еще можно сократить. Проверяем по таблице умножения: и 48, и 72 делятся на 8. Сокращаем дробь на 8:

Полученную дробь еще можем сократить на 3:

Эта дробь — несократимая.

Бо́льшее из чисел на меньшее не делится. Запись числителя и знаменателя оканчивается на нуль.Значит, сокращаем дробь на 10.

Полученные в числителе и знаменателе числа проверяем на и . Так как сумма цифр и 27, и 531 делятся на 3 и на 9, то эту дробь можно сократить как на 3, так и на 9. Выбираем большее и сокращаем на 9. Полученный результат — несократимая дробь.

Шаги

Сокращение дробей

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

(x+2)(x-3) (x+2)(x+10)

(x+2) (x-3) → (x-3) (x+2) (x+10) → (x+10)

В результате получаем упрощенное выражение: (x-3)/(x+10)

Сокращение алгебраических дробей

9x-3 15x+6

3(3x-1) 15x+6

3(3x-1) 3(5x+2)

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

(3x-1) (5x+2)

4(x+2)(x-13) (4x+8)

Ответ: (x=13)

2x 2 -x 5x

Ответ: (2x-1)/5

Специальные приемы

Вынесите отрицательный знак за пределы дроби. Предположим, дана следующая дробь:

3(x-4) 5(4-x)

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Теперь можно сократить одинаковые члены (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

A 2 — b 2 = (a+b)(a-b)

Этот прием очень полезен при поиске общих членов в алгебраических дробях.

Проверьте, правильно ли вы разложили то или иное выражение на множители. Для этого перемножьте множители — в результате должно получиться то же самое выражение.
Чтобы полностью упростить дробь, всегда выделяйте наибольшие множители.

Калькулятор дробей с решением v2.5.2

Калькулятор дробей с решением – приложение работающее с устройствами платформы Android, которое выполняет функции необычного инженерного калькулятора, а его главной особенностью является демонстрация всех этапов решения каждого примера на экране смартфона. Показываются все этапы решения примера до получения итогового ответа.

Синтаксис математических действий построен в идеальном соответствии с современными требованиями школьного образования, что позволяет легко использовать его для того, чтобы применить его для решения контрольной работы, или выполнения домашнего задания.

Важная особенность Калькулятор дробей с решением – это высокая степень вариативности его применения с целью получения образования. Оно поддерживает работу с задачами на деление, преобразование обычных дробей в десятичные, позволяет обычное число преобразовать в дробь. Также можно использовать его для решения примеров с пропорциями и сокращения дробей. Весь его функционал рассчитан именно на освоение школьной программы математики на уровне средней школы. Его легко можно использовать, как альтернативу ГДЗ. Его отличие, правда в том, что оно лишь демонстрирует ход решения, не давая никаких дополнительных пояснений, которые могут потребоваться школьнику.

С помощью этого приложения легко можно справиться с любой контрольной и даже самым сложным домашним заданием. Демонстрация решения примера на всех этапах позволит написать в тетрадь его именно в том формате, который необходим. Также это позволит понять, что именно не понравилось учителю в записи ученика, если возникли проблемы на этом этапе проверки готовой работы. Кроме того, это отличная возможность самопроверки и подстраховки для решения, отлично подходит для того, чтобы взять с собой, поскольку будет всегда с собой, в то время как ГДЗ нести с собой в школу может быть чревато негативными последствиями.

Особенности

Приложение для решения математических дробей с поэтапной демонстрацией решения;
Запись полностью соответствует современным стандартам образования;
Интерфейс прост и невероятно удобен;
Порядок вычислений прост и понятен;
Выполняет любые действия;
Работает с любыми актуальными версиями Android.

Калькулятор онлайн примеры в столбик по действиям. Как научиться делить столбиком: примеры и решения

Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком .

Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:

За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:

Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:

Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:

Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число 78 будет неполным делимым , неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра — 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.

К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Определяем неполное делимое — это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Определяем неполное делимое — это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток — 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

Деление столбиком с остатком

Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.

Определяем неполное делимое — это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:

Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:

1340: 23 = 58 (остаток 6)

Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток — 3:

3: 10 = 0 (остаток 3)

Калькулятор деления столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.

Деление – одна из четырех основных математических операций (сложение , вычитание , умножение). Деление, как и остальные операции важно не только в математике, но и в повседневной жизни. Например, вы целым классом (человек 25) сдадите деньги и купите подарок учительнице, а потратите не все, останется сдача. Так вот сдачу вам надо будет поделить на всех. В работу вступает операция деления, которая поможет вам решить эту задачу.

Деление – интересная операция, в чем мы и убедимся с вами в этой статье!

Деление чисел

Итак, немного теории, а затем практика! Что такое деление? Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.

Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение . 3*3=9. Верно? Абсолютно.

Итак, рассмотрим пример 12:6. Для начала обозначим имена каждому компоненту примера. 12 – делимое, то есть. число которое делиться на части. 6 – делитель, это число частей, на которое делится делимое. А результатом будет число, имеющее название «частное».

Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.

Деление с остатком

Что же такое деление с остатком? Это то же самое деление, только в результате получается не ровное число, как показано выше.

Например, поделим 17 на 5. Так как, наибольшее число, делящееся на 5 до 17 это 15, то ответом будет 3 и остаток 2, а записывается так: 17:5=3(2).

Например, 22:7. Точно так же определяемся максимально число, делящееся на 7 до 22. Это число 21. Ответом тогда будет: 3 и остаток 1. А записывается: 22:7=3(1).

Деление на 3 и 9

Частным случаем деления будет деление на число 3 и число 9. Если вы хотите узнать, делиться ли число на 3 или 9 без остатка, то вам потребуется:

Найти сумму цифр делимого.

Поделить на 3 или 9 (в зависимости от того, что вам нужно).

Если ответ получается без остатка, то и число поделится без остатка.

Например, число 18. Сумма цифр 1+8 = 9. Сумма цифр делится как на 3, так и на 9. Число 18:9=2, 18:3=6. Поделено без остатка.

Например, число 63. Сумма цифр 6+3 = 9. Делится как на 9, так и на 3. 63:9=7, а 63:3=21.Такие операции проводятся с любым числом, чтобы узнать делится ли оно с остатком на 3 или 9, или нет.

Умножение и деление

Умножение и деление – это противоположные друг другу операции. Умножение можно использовать как проверку деления, а деление – как проверку умножения. Подробнее узнать об умножении и освоить операцию можете в нашей статье про умножение . В которой подробно описано умножение и как правильно выполнять. Там же найдете таблицу умножения и примеры для тренировки.

Приведем пример проверки деления и умножения. Допустим, дан пример 6*4. Ответ: 24. Тогда проверим ответ делением: 24:4=6, 24:6=4. Решено верно. В этом случае проверка производится путем деления ответа на один из множителей.

Или дан пример на деление 56:8. Ответ: 7. Тогда проверкой будет 8*7=56. Верно? Да. В данном случае проверка производится путем умножения ответа на делитель.

Деление 3 класс

В третьем классе только начинают проходить деление. Поэтому третьеклассники решают самые простые задачки:

Задача 1 . Работнику на фабрике дали задание разложить 56 пирожных в 8 упаковок. Сколько пирожных нужно положить в каждую упаковку, чтобы получилось равно количество в каждой?

Задача 2 . На кануне нового года в школе детям на класс, в котором учится 15 человек, выдали 75 конфет. Сколько конфет должен получить каждый ребенок?

Задача 3 . Рома, Саша и Миша собрали с яблони 27 яблок. Сколько каждый получит яблок, если нужно поделить их одинаково?

Задача 4 . Четыре друга купили 58 штук печенья. Но потом поняли, что им не разделить их поровну. Сколько ребятам нужно докупить печенья, чтобы каждый получил по 15 штук?

Деление 4 класс

Деление в четвертом классе – более серьезное, чем в третьем. Все вычисления проводятся методом деления в столбик, а числа, которые участвуют в делении – не маленькие. Что же такое деление в столбик? Ответ можете найти ниже:

Деление в столбик

Что такое деление в столбик? Это метод позволяющий находить ответ на деление больших чисел. Если простые числа как 16 и 4, можно поделить, и ответ понятен – 4. То 512:8 в уме для ребенка не просто. А рассказать о технике решения подобных примеров – наша задача.

Рассмотрим пример, 512:8.

1 шаг . Запишем делимое и делитель следующим образом:

Частное будет записано в итоге под делителем, а расчеты под делимым.

2 шаг . Деление начинаем слева направо. Сначала берем цифру 5:

3 шаг . Цифра 5 меньше цифры 8, а значит поделить не удастся. Поэтому берем еще одну цифру делимого:

Теперь 51 больше 8. Это неполное частное.

4 шаг . Ставим точку под делителем.

5 шаг . После 51 стоит еще цифра 2, а значит в ответе будет еще одно число, то есть. частное – двузначное число. Ставимвторую точку:

6 шаг . Начинаем операцию деления. Наибольшее число, делимое без остатка на 8 до 51 – 48. Поделив 48 на 8,получаем 6. Записываем число 6 вместо первой точки под делителем:

7 шаг . Затем записываем число ровно под числом 51 и ставим знак «-»:

8 шаг . Затем из 51 вычитаем 48 и получаем ответ 3.

* 9 шаг *. Сносим цифру 2 и записываем рядом с цифрой 3:

10 шаг Получившееся число 32 делим на 8 и получаем вторую цифру ответа – 4.

Итак, ответ 64, без остатка. Если бы делили число 513, то в остатке была бы единица.

Деление трехзначных

Деление трехзначных чисел выполняется методом деления в столбик, который был объяснен на примере выше. Пример как раз-таки трехзначного числа.

Деление дробей

Деление дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Например, (2/3):(1/4). Метод такого деления довольно прост. 2/3 – делимое, 1/4 – делитель. Можно заменить знак деления (:) на умножение (), но для этого нужно поменять местами числитель и знаменатель делителя. То есть получаем: (2/3) (4/1), (2/3)*4, это равно – 8/3 или 2 целые и 2/3.Приведем еще пример, с иллюстрацией для наилучшего понимания. Рассмотрим дроби (4/7):(2/5):

Как и в предыдущем примере, переворачиваем делитель 2/5 и получаем 5/2, заменяя деление на умножение. Получаем тогда (4/7)*(5/2). Производим сокращение и ответ:10/7, затем выносим целую часть: 1 целая и 3/7.

Деление числа на классы

Представим число 148951784296, и поделим его по три цифры: 148 951 784 296. Итак, справа налево: 296 – класс единиц, 784 — класс тысяч, 951 – класс миллионов, 148 – класс миллиардов. В свою очередь, в каждом классе 3 цифры имеют свой разряд. Справа налево: первая цифра – единицы, вторая цифра – десятки, третья – сотни. Например, класс единиц – 296, 6 – единицы, 9 – десятки, 2 – сотни.

Деление натуральных чисел

Деление натуральных чисел – это самое простое деление описанные в данной статье. Оно может быть, как с остатком, так и без остатка. Делителем и делимым могут быть любые не дробные, целые числа.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Деление презентация

Презентация – еще один способ наглядно показать тему деления. Ниже мы найдете ссылку на прекрасную презентацию, в которой хорошо объясняется как делить, что такое деление, что такое делимое, делитель и частное. Время зря не потратите, а свои знания закрепите!

Примеры на деление

Легкий уровень

Средний уровень

Сложный уровень

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра «Угадай операцию»

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Упрощение»

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Быстрое сложение»

Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Визуальная геометрия»

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Копилка»

Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Быстрое сложение перезагрузка»

Игра «Быстрое сложение перезагрузка» развивает мышление, память и внимание. Главная суть игры выбрать правильные слагаемые, сумма которых будет равна заданному числу. В этой игре на экране дается три цифры и дается задание, сложите цифру, на экране указывается какую цифру надо сложить. Вы выбираете из трех цифр нужные цифры и нажимаете их. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

В курс входит 30 уроков с полезными советами и упражнениями для развития детей. В каждом уроке полезный совет, несколько интересных упражнений, задание к уроку и дополнительный бонус в конце: развивающая мини-игра от нашего партнера. Длительность курса: 30 дней. Курс полезно проходить не только детям, но и их родителям.

Супер-память за 30 дней

Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.

Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

В школе эти действия изучаются от простого к сложному. Поэтому непременно полагается хорошо усвоить алгоритм выполнения названных операций на простых примерах. Чтобы потом не возникло трудностей с делением десятичных дробей в столбик. Ведь это самый сложный вариант подобных заданий.

Этот предмет требует последовательного изучения. Пробелы в знаниях здесь недопустимы. Такой принцип должен усвоить каждый ученик уже в первом классе. Поэтому при пропуске нескольких уроков подряд материал придется освоить самостоятельно. Иначе позже возникнут проблемы не только с математикой, но и другими предметами, связанными с ней.

Второе обязательное условие успешного изучения математики — переходить к примерам на деление в столбик только после того, как освоены сложение, вычитание и умножение.

Ребенку будет трудно делить, если он не выучил таблицу умножения. Кстати, ее лучше учить по таблице Пифагора. Там нет ничего лишнего, да и усваивается умножение в таком случае проще.

Как умножаются в столбик натуральные числа?

Если возникает затруднение в решении примеров в столбик на деление и умножение, то начинать устранять проблему полагается с умножения. Поскольку деление является обратной операцией умножению:

До того как перемножать два числа, на них нужно внимательно посмотреть. Выбрать то, в котором больше разрядов (длиннее), записать его первым. Под ним разместить второе. Причем цифры соответствующего разряда должны оказаться под тем же разрядом. То есть самая правая цифра первого числа должна быть над самой правой второго.
Умножьте крайнюю правую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего, начиная справа. Запишите ответ под чертой так, чтобы его последняя цифра была под той на которую умножали.
То же повторите с другой цифой нижнего числа. Но результат от умножения при этом нужно сместить на одну цифру влево. При этом его последняя цифра окажется под той, на которую умножали.

Продолжать такое умножение в столбик до тех пор, пока не закончатся цифры во втором множителе. Теперь их нужно сложить. Это и будет искомый ответ.

Алгоритм умножения в столбик десятичных дробей

Сначала полагается представить, что даны не десятичные дроби, а натуральные. То есть убрать из них запятые и далее действовать так, как описано в предыдущем случае.

Отличие начинается, когда записывается ответ. В этот момент необходимо сосчитать все цифры, которые стоят после запятых в обеих дробях. Именно столько их нужно отсчитать от конца ответа и там поставить запятую.

Удобно проиллюстрировать этот алгоритм на примере: 0,25 х 0,33:

С чего начать обучение делению?

До того как решать примеры на деление в столбик, полагается запомнить названия чисел, которые стоят в примере на деление. Первое из них (то, которое делится) — делимое. Второе (на него делят) — делитель. Ответ — частное.

После этого на простом бытовом примере объясним суть этой математической операции. Например, если взять 10 конфет, то поделить их поровну между мамой и папой легко. А как быть, если нужно раздать их родителям и брату?

После этого можно знакомиться с правилами деления и осваивать их на конкретных примерах. Сначала простых, а потом переходить ко все более сложным.

Алгоритм деления чисел в столбик

Вначале представим порядок действий для натуральных чисел, делящихся на однозначное число. Они будут основой и для многозначных делителей или десятичных дробей. Только тогда полагается внести небольшие изменения, но об этом позже:

До того как делать деление в столбик, нужно выяснить, где делимое и делитель.
Записать делимое. Справа от него — делитель.
Прочертить слева и снизу около последнего уголок.
Определить неполное делимое, то есть число, которое будет минимальным для деления. Обычно оно состоит из одной цифры, максимум из двух.
Подобрать число, которое будет первым записано в ответ. Оно должно быть таким, сколько раз делитель помещается в делимом.
Записать результат от умножения этого числа на делитель.
Написать его под неполным делимом. Выполнить вычитание.
Снести к остатку первую цифру после той части, которая уже разделена.
Снова подобрать число для ответа.
Повторить умножение и вычитание. Если остаток равен нулю и делимое закончилось, то пример сделан. В противном случае повторить действия: снести цифру, подобрать число, умножить, вычесть.

Как решать деление в столбик, если в делителе больше одной цифры?

Сам алгоритм полностью совпадает с тем, что был описан выше. Отличием будет количество цифр в неполном делимом. Их теперь минимум должно быть две, но если они оказываются меньше делителя, то работать полагается с первыми тремя цифрами.

Существует еще один нюанс в таком делении. Дело в том, что остаток и снесенная к нему цифра иногда не делятся на делитель. Тогда полагается приписать еще одну цифру по порядку. Но при этом в ответ необходимо поставить ноль. Если осуществляется деление трехзначных чисел в столбик, то может потребоваться снести больше двух цифр. Тогда вводится правило: нолей в ответе должно быть на один меньше, чем количество снесенных цифр.

Рассмотреть такое деление можно на примере — 12082: 863.

Неполным делимым в нем оказывается число 1208. В него число 863 помещается только один раз. Поэтому в ответ полагается поставить 1, а под 1208 записать 863.
После вычитания получается остаток 345.
К нему нужно снести цифру 2.
В числе 3452 четыре раза умещается 863.
Четверку необходимо записать в ответ. Причем при умножении на 4 получается именно это число.
Остаток после вычитания равен нулю. То есть деление закончено.

Ответом в примере будет число 14.

Как быть, если делимое заканчивается на ноль?

Или несколько нолей? В этом случае нулевой остаток получается, а в делимом еще стоят нули. Отчаиваться не стоит, все проще, чем может показаться. Достаточно просто приписать к ответу все нули, которые остались не разделенными.

Например, нужно поделить 400 на 5. Неполное делимое 40. В него 8 раз помещается пятерка. Значит, в ответ полагается записать 8. При вычитании остатка не остается. То есть деление закончено, но в делимом остался ноль. Его придется приписать к ответу. Таким образом, при делении 400 на 5 получается 80.

Что делать, если разделить нужно десятичную дробь?

Опять же, это число похоже на натуральное, если бы не запятая, отделяющая целую часть от дробной. Это наводит на мысль о том, что деление десятичных дробей в столбик подобно тому, которое было описано выше.

Единственным отличием будет пункт с запятой. Ее полагается поставить в ответ сразу, как только снесена первая цифра из дробной части. По-другому это можно сказать так: закончилось деление целой части — поставь запятую и продолжай решение дальше.

Во время решения примеров на деление в столбик с десятичными дробями нужно помнить, что в части после запятой можно приписать любое количество нолей. Иногда это нужно для того, чтобы доделить числа до конца.

Деление двух десятичных дробей

Оно может показаться сложным. Но только вначале. Ведь то, как выполнить деление в столбик дробей на натуральное число, уже понятно. Значит, нужно свести этот пример к уже привычному виду.

Сделать это легко. Нужно умножить обе дроби на 10, 100, 1 000 или 10 000, а может быть, на миллион, если этого требует задача. Множитель полагается выбирать исходя из того, сколько нолей стоит в десятичной части делителя. То есть в результате получится, что делить придется дробь на натуральное число.

Причем это будет в худшем случае. Ведь может получиться так, что делимое от этой операции станет целым числом. Тогда решение примера с делением в столбик дробей сведется к самому простому варианту: операции с натуральными числами.

В качестве примера: 28,4 делим на 3,2:

Сначала их необходимо умножить на 10, поскольку во втором числе после запятой стоит только одна цифра. Умножение даст 284 и 32.
Их полагается разделить. Причем сразу все число 284 на 32.
Первым подобранным числом для ответа является 8. От его умножения получается 256. Остатком будет 28.
Деление целой части закончилось, и в ответ полагается поставить запятую.
Снести к остатку 0.
Снова взять по 8.
Остаток: 24. К нему приписать еще один 0.
Теперь брать нужно 7.
Результат умножения — 224, остаток — 16.
Снести еще один 0. Взять по 5 и получится как раз 160. Остаток — 0.

Деление закончено. Результат примера 28,4:3,2 равен 8,875.

Что делать, если делитель равен 10, 100, 0,1, или 0,01?

Так же как и с умножением, деление в столбик здесь не понадобится. Достаточно просто переносить запятую в нужную сторону на определенное количество цифр. Причем по этому принципу можно решать примеры как с целыми числами, так и с десятичными дробями.

Итак, если нужно делить на 10, 100 или 1 000, то запятая переносится влево на такое количество цифр, сколько нулей в делителе. То есть, когда число делится на 100, запятая должна сместиться влево на две цифры. Если делимое — натуральное число, то подразумевается, что запятая стоит в его конце.

Это действие дает такой же результат, как если бы число было необходимо умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. В этих примерах запятая тоже переносится влево на количество цифр, равное длине дробной части.

При делении на 0,1 (и т. д.) или умножении на 10 (и т. д.) запятая должна переместиться вправо на одну цифру (или две, три, в зависимости от количества нулей или длины дробной части).

Стоит отметить, что количества цифр, данных в делимом, может быть недостаточным. Тогда слева (в целой части) или справа (после запятой) можно приписать недостающие нули.

Деление периодических дробей

В этом случае не удастся получить точный ответ при делении в столбик. Как решать пример, если встретилась дробь с периодом? Здесь полагается переходить к обыкновенным дробям. А потом выполнять их деление по изученным ранее правилам.

Например разделить нужно 0,(3) на 0,6. Первая дробь — периодическая. Она преобразуется в дробь 3/9, которая после сокращения даст 1/3. Вторая дробь — конечная десятичная. Ее записать обыкновенной еще проще: 6/10, что равно 3/5. Правило деления обыкновенных дробей предписывает заменять деление умножением и делитель — обратным числом. То есть пример сводится к умножению 1/3 на 5/3. Ответом будет 5/9.

Если в примере разные дроби…

Тогда возможны несколько вариантов решения. Во-первых, обыкновенную дробь можно попытаться перевести в десятичную. Потом делить уже две десятичные по указанному выше алгоритму.

Во-вторых, каждая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной. Только это не всегда удобно. Чаще всего такие дроби оказываются огромными. Да и ответы получаются громоздкими. Поэтому первый подход считается более предпочтительным.

Калькулятор в столбик для Андроид устройств станет замечательным помощником для современных школьников. Программа не только дает правильный ответ на математическое действие, но и наглядно демонстрирует его пошаговое решение. Если же вам нужны более сложные калькуляторы – можете посмотреть или же продвинутый инженерный калькулятор.

Особенности

Главной особенностью программы является уникальность расчета математических операций. Отображение процесса вычислений столбиком дает возможность школьникам более подробно с ним ознакомиться, понять алгоритм решения, а не просто получить готовый результат и переписать его в тетрадь. Эта особенность имеет огромное преимущество перед другими калькуляторами, т.к. достаточно часто в школе учителя требуют расписать промежуточные вычисления, чтобы удостовериться, что школьник производит их в уме и действительно понимает алгоритм решения задач. Кстати, у нас есть еще одна программа похожего рода – .

Чтобы начать пользоваться программой, необходимо скачать калькулятор в столбик на Андроид. Сделать это можно на нашем сайте абсолютно бесплатно без дополнительных регистраций и смс. После установки откроется главная страница в виде тетрадного листа в клетку, на котором, собственно, и будут отображаться результаты вычислений и их подробное решение. Внизу располагается панель с кнопками:

Цифры.
Знаки арифметических действий.
Удаление раннее введенных символов.

Ввод осуществляется по тому же принципу, что и на . Все отличие состоит только в интерфейсе приложения – все математические вычисления и их результат отображаются в виртуальной ученической тетради.

Приложение позволяет быстро и правильно выполнить стандартные для школьника математические вычисления столбиком:

умножение;
деление;
сложение;
вычитание.

Приятным дополнением в приложении является функция ежедневного напоминания о домашнем задании по математике. Хотите – делайте домашки. Для ее включения следует зайти в настройки (нажать кнопку в виде шестеренки) и установить галочку о напоминании.

Достоинства и недостатки

Помогает школьнику не просто быстро получить правильный результат математических вычислений, но и понять сам принцип расчета.
Очень простой, интуитивно понятный интерфейс для каждого пользователя.
Установить приложение можно даже на самое бюджетное Андроид устройство с операционной системой 2.2 и более поздней версией.
Калькулятор сохраняет историю проведенных математических вычислений, которую можно в любой момент очистить.

Калькулятор ограничен в математических операциях, поэтому применить его для сложных расчетов, с какими мог бы справиться инженерный калькулятор, не получится. Однако учитывая назначение самого приложения – наглядно продемонстрировать учащимся младшей школы принцип расчета в столбик, считать это недостатком не стоит.

Приложение также станет отличным помощником не только для школьников, но и для родителей, которые желают заинтересовать своего ребенка математикой и научить его правильно и последовательно производить вычисления. Если Вы уже пользовались приложением Калькулятор в столбик, оставьте свои впечатления ниже в комментариях.

Деление столбиком неотъемлемая часть школьной программы и необходимое знание для ребенка. Чтобы избежать проблем на уроках и с их выполнением, следует давать ребенку основные знания еще с маленького возраста.

Гораздо легче объяснять ребенку определенные вещи и процессы в игровой форме, а не в формате стандартного урока (хотя на сегодняшний день существует достаточно разнообразных методик обучения в разных формах).

Из этой статьи вы узнаете

Принцип деления для малышей

Дети постоянно сталкиваются с разными математическими терминами, даже не подозревая, откуда они. Ведь многие мамочки, в форме игры, объясняют ребенку, что папы больше тарелка, в садик ходить дальше, чем в магазин и другие незамысловатые примеры. Всё это представляет ребенку первоначальное впечатление о математике, еще до похода ребёнка в первый класс.

Чтобы научить ребёнка делить без остатка, а позже с остатком, необходимо прямо предложить поиграть малышу в игры с делением. Разделите, например, конфеты между собой, а затем по очереди добавляйте следующих участников.

Сначала ребенок будет делить конфеты, отдавая каждому участнику по одной. А в конце вместе сделаете вывод. Следует пояснить, что «разделить» — значит всем одинаковое число конфет.

Если Вам необходимо растолковать этот процесс с помощью цифр, то можно привести пример в форме игры. Можно сказать, что цифра – это конфета. Следует объяснить, что число конфет, которые нужно делить между участниками – делимое. А количество человек, на которых делят эти конфеты – это делитель.

Потом следует показать это все наглядно, привести «живые» примеры, чтобы быстрее научить кроху делить. Играя, он намного быстрее все поймет и усвоит. Пока алгоритм объяснить будет сложно, и сейчас это не нужно.

Как обучить малыша делению в столбик

Объяснение крохе разных математических действий – это хорошая подготовка к походу в класс, особенно математический класс. Если Вы решили перейти к обучению ребенка делению столбиком, значит такие действия как сложение, вычитание, и что такое таблица умножения он уже усвоил.

Если же это у него все еще вызывает некоторые сложности, то нужно подтянуть все эти знания. Стоит напомнить алгоритм действий предыдущих процессов, научить свободно пользоваться своими знаниями. В противном случае малыш просто запутается во всех процессах, и перестанет что-либо понимать.

Для облегчения понимания этого, сейчас есть таблица деления для малышей. Принцип у нее такой же, как и у таблиц умножения. Но нужна ли уже такая таблица, если малыш знает таблицу умножения? Это зависит от школы и учителя.

При формировании понятия «деление» нужно обязательно делать все в игровой форме, приводить все примеры на знакомых ребенку вещах и предметах.

Очень важно, чтобы все предметы были четного числа, чтобы малышу было ясно, что итогом являются равные части. Это будет правильно, поскольку позволит крохе осознать, что деление — процесс обратный умножению. Если предметы будут нечетного количества, то итог выйдет с остатком и малыш запутается.

Умножаем и делим с помощью таблицы

При объяснении малышу взаимосвязи между умножением и делением, необходимо это все наглядно показывать на каком-либо примере. Например: 5 х 3 = 15. Вспомните, что итог умножения это произведение двух чисел.

И только после этого, объясняйте, что это обратный процесс к умножению и продемонстрируйте это наглядно с помощью таблицы.

Скажите, что нужно поделить результат «15» — на какой-то из множителей («5»/ «3»), и итогом будет постоянно иной, не принимавший участие в делении, множитель.

Также необходимо растолковать малышу, как правильно называются категории, которые выполняют деление: делимое, делитель, частное. И снова с помощью примера покажите, что из них является конкретной категорией.

Деление столбиком вещь не очень сложная, у нее есть свой легкий алгоритм, которому малыша нужно научить. После закрепления всех этих понятий и знаний, можно переходить к дальнейшему обучению.

В принципе, родителям стоит выучить с любимым чадом таблицу умножения в обратном порядке, и наизусть ее запомнить, так как это будет нужным при обучении делению столбиком.

Это делать необходимо до похода в первый класс, чтобы ребенку в школе было намного легче освоиться, и успевать за школьной программой, и чтобы класс из-за небольших неудач не начал дразнить ребенка. Таблица умножения есть и в школе, и в тетрадях, поэтому носить отдельную таблицу в школу не придется.

Делим с помощью столбика

Прежде чем приступить к занятию, нужно вспомнить названия цифр при делении. Что такое делитель, делимое и частное. Ребенок должен без ошибок делить эти цифры на правильные категории.

Самое главное при обучении деления столбиком, это усвоить алгоритм, который, в общем, довольно простой. Но сначала объясните ребенку значение слова «алгоритм», если он забыл его или до этого не изучал.

В том случае, если кроха прекрасно разбирается в таблице умножения и обратного деления, у него не будет никаких сложностей.

Однако на полученном результате долго задерживаться нельзя, необходимо регулярно тренировать приобретенные умения и навыки. Двигайтесь далее, как только станет ясно, что малыш понял принцип метода.

Необходимо научить малыша делить столбиком без остатка и с остатком, чтобы ребенок не пугался, что у него что-то не получилось разделить правильно.

Чтобы было проще обучить малыша процессу деления необходимо:

в 2-3 года понимание отношения целое-часть.
в 6-7 лет малыш должен свободно уметь выполнять сложение, вычитание и осознавать сущность умножения и деления.

Нужно побуждать интерес малыша к математическим процессам, чтобы этот урок в школе приносил ему удовольствие и желание учиться, и не мотивировать его на одних на уроках, но и в жизни.

Ребенок должен носить разные инструменты для уроков математики, учиться ими пользоваться. Однако если ребенку тяжело все носить, то не стоит его перегружать.

Выполни деление с остатком калькулятор. Как делить в столбик? Как объяснить ребенку деление столбиком? Деление на однозначное, двузначное, трехзначное число, деление с остатком

Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0

Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.

Решение:

Как работать с математическим калькулятором

Клавиша	Обозначение	Пояснение
5	цифры 0-9	Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/-
.	точка (запятая)	Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 — будет записано 0.5
+	знак плюс	Сложение чисел (целые, десятичные дроби)
—	знак минус	Вычитание чисел (целые, десятичные дроби)
÷	знак деления	Деление чисел (целые, десятичные дроби)
х	знак умножения	Умножение чисел (целые, десятичные дроби)
√	корень	Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
x 2	возведение в квадрат	Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку «возведение в квадрат» производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1 / x	дробь	Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число
%	процент	Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка «%»
(	открытая скобка	Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10
)	закрытая скобка	Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки
±	плюс минус	Меняет знак на противоположный
=	равно	Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле «Решение» выводится промежуточные вычисления и результат.
←	удаление символа	Удаляет последний символ
С	сброс	Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0»

Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах

Сложение.

Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }

Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }

Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Вычитание.

Вычитание целых натуральных чисел { 7 — 5 = 2 }

Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 — (-2) = 7 }

Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 — 1,2 = 4,3 }

Умножение.

Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }

Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }

Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }

Деление.

Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }

Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }

Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }

Извлечение корня из числа.

Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }

Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }

Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }

Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }

Возведение числа в квадрат.

Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }

Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }

Перевод в десятичные дроби.

Вычисление процентов от числа

Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }

Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }

18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }

Из этой статьи вы узнаете

Принцип деления для малышей

Как обучить малыша делению в столбик

Умножаем и делим с помощью таблицы

Делим с помощью столбика

Чтобы было проще обучить малыша процессу деления необходимо:

в 2-3 года понимание отношения целое-часть.
в 6-7 лет малыш должен свободно уметь выполнять сложение, вычитание и осознавать сущность умножения и деления.

Один из важных этапов в обучении ребёнка математическим действиям – обучение операции деления простых чисел. Как объяснить ребёнку деление, когда можно приступать к освоению этой темы?

Для того чтобы научить ребёнка делению, необходимо, чтобы он к моменту обучения уже освоил такие математические операции, как сложение, вычитание, а также имел чёткое представление о самой сущности действий умножения и деления. То есть, он должен понимать, что деление – это разделение чего-либо на равные части. Также необходимо научить операции умножения и выучить таблицу умножения.

Я уже писала о том, Эта статья может стать для вас полезной.

Осваиваем операцию разделения (деления) на части в игровой форме

На этом этапе необходимо сформировать у ребёнка понимание того, что деление – это разделение чего-либо на равные части. Самый просто способ научить ребёнка этому – предложить ему разделить некоторое количество предметов между ним его друзьями или членами семьи.

Допустим, возьмите 8 одинаковых кубиков и предложите ребёнку разделить на две равные части – для него и другого человека. Варьируйте и усложняйте задание, предложите ребёнку разделить 8 кубиков не на двоих, а на четырёх человек. Проанализируйте вместе с ним результат. Меняйте составляющие, пробуйте с другим количеством предметов и людей, на которые нужно разделить эти предметы.

Важно: Следите, чтобы вначале ребёнок оперировал с чётным количеством предметов, для того, чтобы результатом деления было одинаковое количество частей. Это окажется полезным на следующем этапе, когда ребёнку будет нужно понять, что деление – это операция обратная умножению.

Умножаем и делим, используя таблицу умножения

Объясните ребёнку, что, в математике, действие, противоположное умножению, называется «деление». Оперируя таблицей умножения, продемонстрируйте ученику на любом примере взаимосвязь между умножением и делением.

Пример: 4х2=8. Напомните ребёнку, что результатом умножения является произведение двух чисел. После этого объясните, что операция деления, является обратной операции умножения и проиллюстрируйте это наглядно.

Разделите получившееся произведение «8» из примера – на любой из множителей – «2» или «4», и результатом всегда будет другой, не использовавшийся в операции множитель.

Также нужно научить юного ученика, тому, как называются категории, описывающие операцию деления – «делимое», «делитель» и «частное». На примере покажите, какие цифры являются делимым, делителем и частным. Закрепите эти знания, они необходимы для дальнейшего обучения!

По сути, вам нужно научить ребёнка таблице умножения «наоборот», и запомнить её необходимо так же хорошо, как и саму таблицу умножения, ведь это будет необходимым, когда вы начнёте обучение делению в столбик.

Делим столбиком – приведем пример

Перед началом занятия вспомните вместе с ребёнком, как называются цифры в процессе операции деления. Что является «делителем», «делимым», «частным»? Научите безошибочно и быстро определять эти категории. Это будет очень полезным во время обучения ребёнка делению простых чисел.

Объясняем наглядно

Давайте разделим 938 на 7. В данном примере 938 – это делимое, 7 – делитель. Результатом будет частное, его то и нужно вычислить.

Шаг 1 . Записываем числа, разделив их «уголком».

Шаг 2. Покажите ученику числа делимого и предложите ему, выбрать из них то наименьшее число, которое окажется больше делителя. Из трёх цифр 9, 3 и 8, этим числом будет 9. Предложите ребёнку проанализировать, сколько раз число 7 может содержаться в числе 9? Правильно, только один раз. Поэтому первым записанными нами результатом будет 1.

Шаг 3. Переходим к оформлению деления столбиком:

Умножаем делитель 7х1 и получаем 7. Полученный результат записываем под первым числом нашего делимого 938 и вычитаем, как обычно, в столбик. То есть из 9 мы вычитаем 7 и получаем 2.

Записываем результат.

Шаг 4. Число, которое мы видим, меньше делителя, поэтому необходимо его надо увеличить. Для этого объединим его со следующим неиспользованным числом нашего делимого – это будет 3. Приписываем 3 к полученному числу 2.

Шаг 5. Далее действуем по уже известному алгоритму. Анализируем, сколько раз наш делитель 7 содержится в полученном числе 23? Правильно, три раза. Фиксируем число 3 в частном. А результат произведения – 21 (7*3) записываем внизу под числом 23 в столбик.

Шаг.6 Теперь осталось найти последнее число нашего частного. Используя уже знакомый алгоритм, продолжаем делать вычисления в столбике. Путём вычитания в столбике (23-21) получаем разницу. Она равняется 2.

Из делимого у нас осталась неиспользованным одно число – 8. Объединяем его с полученным в результате вычитания числом 2, получаем – 28.

Шаг.7 Анализируем, сколько раз наш делитель 7 содержится в полученном числе? Правильно, 4 раза. Записываем полученную цифру в результат. Итак, мы полученное в результате деления столбиком частное= 134.

Как научить ребенка делению – закрепляем навык

Главное из-за чего у многих школьников возникает проблема с математикой — это неумение быстро делать простые арифметические расчеты. А на этой основе построена вся математика в начальной школе. Особенно часто проблема именно в умножении и делении.
Чтобы ребенок научился быстро и качественно проводить расчеты деления в уме — необходима правильная методика обучения и закрепление навыка. Для этого мы советуем воспользоваться популярными на сегодня пособиями в усвоение навыка деления. Одни предназначены для занятий детей с родителями, другие для самостоятельной работы.

«Деление. Уровень 3. Рабочая тетрадь» от крупнейшего международного центра дополнительного образования Kumon
«Деление. Уровень 4. Рабочая тетрадь» от Kumon
«Не Ментальная арифметика. Система обучения ребенка быстрому умножению и делению. За 21 день. Блокнот-тренажёр.» от Ш. Ахмадулина — автора обучающих книг-бестселлеров

Самым главным, когда вы учите ребёнка делению в столбик, является усвоение алгоритма, который, в общем-то, достаточно прост.

Если ребёнок хорошо оперирует таблицей умножения и «обратным» делением, у него не возникнет трудностей. Тем не менее очень важно постоянно тренировать полученный навык. Не останавливайтесь на достигнутом, как только вы поймёте, что ребёнок уловил суть метода.

Для того чтобы легко научить ребёнка операции деления нужно:

Чтобы в возрасте двух–трех лет он освоил отношения «целое – часть». У него должно сложиться понимание целого, как неразделимой категории и восприятие отдельной части целого как самостоятельного объекта. Например – игрушечный грузовик – целое, а его кузов, колеса, дверцы – части этого целого.
Чтобы в младшем школьном возрасте ребенок свободно оперировал действиями по сложению и вычитанию чисел, понимал суть процессов умножения и деления.

Для того чтобы занятия математикой доставляли ребёнку удовольствие, необходимо возбуждать его интерес к математике и математическим действиям, не только во время обучения, но и в бытовых ситуациях.

Поэтому поощряйте и развивайте наблюдательность у ребёнка, проводите аналогии с математическими действиями (операции на счёт и деление, анализ отношений «часть-целое» и т.д.) во время конструирования, игр и наблюдений за природой.

Преподаватель, специалист детского развивающего центра
Дружинина Елена
специально для проекта сайт

Видео сюжет для родителей, как правильно объяснить ребенку деление в столбик:

Деление многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик . Давайте разберем, как это делать. Начнем с деления многоразрядного числа на одноразрядное, и постепенно увеличим разрядность делимого.

Итак, поделим 354 на 2 . Для начала разместим эти числа как показано на рисунке:

Делимое размещаем слева, делитель справа, а частное будем записывать под делителем.

Теперь начинаем делить делимое на делитель поразрядно слева на право. Находим первое неполное делимое , для этого берем первый слева разряд, в нашем случае 3 и сравниваем с делителем.

3 больше 2 , значит 3 и есть неполное делимое. Ставим точку в частном и определяем, сколько ещё разрядов будет в частном – столько же, сколько осталось в делимом после выделения неполного делимого. В нашем случае в частном столько же разрядов, сколько в делимом, то есть старшим разрядом будут сотни:

Для того чтобы 3 разделить на 2 вспоминаем таблицу умножения на 2 и находим число при умножении которого на 2 получим наибольшее произведение, которое меньше 3.

2 × 1 = 2 (2

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2 меньше 3 , а 4 больше, значит, берем первый пример и множитель 1 .

Записываем 1 в частное на место первой точки (в разряд сотен), а найденное произведение записываем под делимым:

Теперь находим разность, между первым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителем:

Полученное значение сравниваем с делителем. 15 больше 2 , значит, мы нашли второе неполное делимое. Для того чтобы найти результат деления 15 на 2 вновь вспоминаем таблицу умножения на 2 и находим наибольшее произведение, которое меньше 15 :

2 × 7 = 14 (14

2 × 8 = 16 (16 > 15)

Искомый множитель 7 , записываем его в частное на место второй точки (в десятки). Находим разность между вторым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителя:

Продолжаем деление, для чего находим третье неполное делимое . Спускаем следующий разряд делимого:

Делим неполное делимое на 2, полученное значение ставим в разряд единиц частного. Проверим правильность деления:

2 × 7 = 14

Результат деления третьего неполного делимого на делитель пишем в частное, находим разность:

Разность мы получили равную нулю, значит деление произведено правильно .

Усложним задачу и приведем другой пример:

1020 ÷ 5

Запишем наш пример в столбик и определим первое неполное частное:

Разряд тысяч делимого составляет 1 , сравниваем с делителем:

Добавляем в неполное делимое разряд сотен и сравниваем:

10 > 5 – мы нашли неполное делимое.

Делим 10 на 5 , получаем 2 , записываем результат в частное. Разность между неполным делимым и результатом умножения делителя и найденного разряда частного.

10 – 10 = 0

0 мы не пишем, опускаем следующий разряд делимого – разряд десятков:

Сравниваем второе неполное делимое с делителем.

Нам следует добавить в неполное делимое ещё один разряд, для этого в частное, на разряд десятков ставим 0 :

20 ÷ 5 = 4

Записываем ответ в разряд единиц частного и проверяем: записываем произведение под второе неполное делимое и вычисляем разность. Получаем 0 , значит пример решён правильно .

И ещё 2 правила деления в столбик:

1. Если в делимом и делителе в младших разрядах стоят нули, то перед делением их можно сократить, например:

Сколько нулей в младшем разряде делимого мы убираем, столько же нулей убираем в младших разрядах делителя.

2. Если в делимом после деления остались нули, то их следует перенести в частное:

Итак, сформулируем последовательность действий при делении в столбик.

Размещаем делимое слева, делитель справа. Помним, что делимое мы делим, поразрядно выделяя неполные делимые и деля их последовательно на делитель. Разряды в неполное делимое выделяются слева направо от старших к младшим.
Если в делимом и делителе в младших разрядах стоят нули, то перед делением их можно сократить.
Определяем первый неполный делитель:

а) выделяем в неполный делитель старший разряд делимого;

б) сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (в) , если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4 ;

в) добавляем в неполное делимое следующий разряд и переходим к пункту (б) .

Определяем сколько разрядов будет в частном, и ставим столько точек на месте частного (под делителем) сколько будет в нем разрядов. Одна точка (один разряд) за все первое неполное делимое и остальных точек (разрядов) столько же, сколько осталось разрядов в делимом после выделения неполного делимого.
Делим неполное делимое на делитель, для этого находим число, при умножении которого на делитель получилось бы число либо равное неполному делимому, либо меньше его.
Найденное число записываем на место очередного разряда частного (точки), а результат умножения его на делитель записываем под неполным делимым и находим их разность.
Если найденная разность меньше или равна неполному делимому значит, мы правильно поделили неполное делимое на делитель.
Если в делимом остались еще разряды, то продолжаем деление, иначе переходим к пункту 10 .
Опускаем к разности следующий разряд делимого и получаем очередное неполное делимое:

а) сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (б), если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4;

б) добавляем к неполному делимому следующий разряд делимого, при этом в частное на место следующего разряда (точки) пишем 0;

в) переходим к пункту (а).

10. Если мы выполняли деление без остатка и последняя найденная разность равна 0 , то мы правильно выполнили деление .

Мы говорили о делении многоразрядного числа на одноразрядное. В случае, когда разрядность делителя больше, деление выполняется аналогично:

Калькулятор упрощения дробей

Воспользуйтесь этим калькулятором, чтобы легко упростить дроби.

Упрощающие дроби

Упрощение дробей — это действие деления числителя и знаменателя (верхнего и нижнего) на наибольшее число, которое точно делит каждое из них. За счет упрощения дробь становится максимально простой, например, 10/20 становится 1/2, а 4/9 становится 2/3. Точно так же дробь, которая больше 1, станет составной, например 13/3 станет 4 1/3.

Как упростить дроби?

Наивный метод — попытаться разделить (точно, без остатка) числитель и знаменатель на 2,3,5,7,9 … (простые числа) до тех пор, пока вы не сможете больше разделить обе части на одно и то же число. Например, 24/60 можно разделить на 2, чтобы получить 12/30, а затем разделить на 2, чтобы получить 6/15, которые затем можно разделить на 3, чтобы получить 2/5. 2/5 больше не могут делиться на одно и то же число без остатка.

Более продвинутый метод — сначала найти наибольший общий делитель (НОД), также известный как наибольший общий делитель (НОД), а затем разделить на него числитель и знаменатель.Наибольший общий множитель 24 и 60 равен 12, поэтому, разделив 24/12 и 60/12, вы получите 2/5, точно так же, как при использовании первого метода. Конечно, во всех случаях быстрее и проще просто использовать наш онлайн-калькулятор упрощенных дробей, указанный выше.

Практические примеры

Пример задания №1: Вы читаете в источнике новостей, что статистическое обследование показало, что 20 из каждых 100 мужчин в Испании не имеют работы. Как упростить эту дробь?

Решение : дробь составляет 20/100, обе можно разделить на 2, в результате чего получится 10/50, которые в дальнейшем можно разделить на 2, в результате получится 5/25, которые нельзя разделить на 2 или 3, но его можно разделить на 5, в результате чего получится 1/5, который нельзя делить дальше.20/80 упрощенное — 1/5. Вы можете проверить результат, используя наш онлайн-калькулятор упрощенных дробей.

Пример задания № 2: у вас есть пицца с 12 кусочками, и вам сказали, что вы можете съесть 4 из 12 кусочков. Как можно упростить эту дробь?

Решение : дробь равна 4/12, обе из которых делятся на 2, в результате получается 2/6, обе из которых делятся на 3, что дает 1/3. Таким образом, вы можете съесть треть пиццы.

Как видите, использование усилителя дроби определенно полезно.

Введение в арифметические операции | Безграничная алгебра

Основные операции

Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.

Цели обучения

Вычислить сумму, разность, произведение и частное положительных целых чисел

Основные выводы

Ключевые моменты

Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.
Основными арифметическими свойствами являются коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства.

Ключевые термины

ассоциативный : ссылка на математическую операцию, которая дает один и тот же результат независимо от группировки элементов.
коммутативный : Относится к бинарной операции, в которой изменение порядка операндов не меняет результат (например, сложение и умножение).
произведение : результат умножения двух величин.
частное : результат деления одного количества на другое.
сумма : результат сложения двух величин.
разница : результат вычитания одной величины из другой.

Четыре арифметических операции

Дополнение

Сложение — это самая основная арифметическая операция. В простейшей форме сложение объединяет два количества в одно количество, или сумма . Например, предположим, что у вас есть группа из 2 ящиков и еще одна группа из 3 ящиков.Если вы объедините обе группы вместе, у вас получится одна группа из 5 ящиков. Чтобы представить эту идею в математических терминах:

[латекс] 2 + 3 = 5 [/ латекс]

Вычитание

Вычитание противоположно сложению. Вместо того, чтобы складывать количества вместе, мы удаляем одно количество из другого, чтобы найти разницу между ними. Продолжая предыдущий пример, предположим, что вы начинаете с группы из 5 блоков. Если вы затем удалите 3 поля из этой группы, у вас останутся 2 поля.Математически:

[латекс] 5-3 = 2 [/ латекс]

Умножение

Умножение также объединяет несколько величин в одну величину, называемую продуктом . Фактически, умножение можно рассматривать как объединение множества сложений. В частности, произведение [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] является результатом сложения [latex] x [/ latex] вместе [latex] y [/ latex] раз. Например, один из способов подсчета четырех групп по две коробки — сложить группы вместе:

[латекс] 2 + 2 + 2 + 2 = 8 [/ латекс]

Однако есть еще один способ посчитать коробки — это умножить количество:

[латекс] 2 \ cdot 4 = 8 [/ латекс]

Обратите внимание, что оба метода дают один и тот же результат — 8, но во многих случаях, особенно когда у вас есть большие количества или много групп, умножение может быть намного быстрее.

Дивизион

Деление — это величина, обратная умножению. Вместо того, чтобы умножать количества вместе, чтобы получить большее значение, вы разделяете количество на меньшее значение, называемое частным . Опять же, возвращаясь к примеру с блоком, разделение группы из 8 блоков на 4 равные группы дает 4 группы по 2 блока:

[латекс] 8 \ div 4 = 2 [/ латекс]

Основные арифметические свойства

Коммутативная собственность

Свойство коммутативности описывает уравнения, в которых порядок чисел не влияет на результат.Сложение и умножение — это коммутативные операции:

[латекс] 2 + 3 = 3 + 2 = 5 [/ латекс]
[латекс] 5 \ cdot 2 = 2 \ cdot 5 = 10 [/ латекс]

Однако вычитание и деление не коммутативны.

Ассоциативное свойство

Свойство ассоциативности описывает уравнения, в которых группировка чисел не влияет на результат. Как и в случае с коммутативностью, сложение и умножение являются ассоциативными операциями:

[латекс] (2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6) = 11 [/ латекс]
[латекс] (4 \ cdot 1) \ cdot 2 = 4 \ cdot (1 \ cdot 2) = 8 [/ латекс]

Еще раз, вычитание и деление не ассоциативны.

Распределительная собственность

Свойство распределения можно использовать, когда сумма двух величин затем умножается на третье количество.

[латекс] (2 + 4) \ cdot 3 = 2 \ cdot 3 + 4 \ cdot 3 = 18 [/ латекс]

Отрицательные числа

Арифметические операции могут выполняться с отрицательными числами в соответствии с определенными правилами.

Цели обучения

Вычисление суммы, разницы, произведения и частного отрицательных целых чисел

Основные выводы

Ключевые моменты

Сложение двух отрицательных чисел дает отрицательный результат; сложение положительного и отрицательного числа дает число, имеющее тот же знак, что и число большей величины.
Вычитание положительного числа дает тот же результат, что и сложение отрицательного числа равной величины, а вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и добавление положительного числа.
Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а произведение двух отрицательных чисел положительно.
Частное одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а частное двух отрицательных чисел положительно.

Четыре операции

Дополнение

Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел.Например:

[латекс] (- 3) + (−5) = −8 [/ латекс]

Основополагающий принцип заключается в том, что два долга — отрицательные числа — могут быть объединены в один долг большей величины.

При сложении положительных и отрицательных чисел другой способ записать отрицательные числа — вычесть положительные величины. Например:

[латекс] 8 + (−3) = 8 — 3 = 5 [/ латекс]

Здесь кредит 8 сочетается с задолженностью 3, что дает общий кредит 5.Однако, если отрицательное число имеет большую величину, результат будет отрицательным:

[латекс] (- 8) + 3 = 3 — 8 = −5 [/ латекс]

Аналогично:

[латекс] (- 2) + 7 = 7 — 2 = 5 [/ латекс]

Здесь долг 2 сочетается с кредитом 7. Кредит имеет большую величину, чем долг, поэтому результат положительный. Но если кредит меньше долга, результат будет отрицательным:

[латекс] 2 + (−7) = 2 — 7 = −5 [/ латекс]

Вычитание

Вычитание положительных чисел друг из друга может дать отрицательный ответ.Например, вычитая 8 из 5:

[латекс] 5 — 8 = −3 [/ латекс]

Вычитание положительного числа обычно аналогично сложению отрицательного числа. То есть:

[латекс] 5 — 8 = 5 + (−8) = −3 [/ латекс]

[латекс] (- 3) — 5 = (−3) + (−5) = −8 [/ латекс]

Аналогично, , вычитая отрицательного числа, дает тот же результат, что и , прибавляя положительное из этого числа. Идея здесь в том, что , потеряв долга, — это то же самое, что получит кредит.Следовательно:

[латекс] 3 — (−5) = 3 + 5 = 8 [/ латекс]

[латекс] (- 5) — (−8) = (−5) + 8 = 3 [/ латекс]

Умножение

При умножении положительных и отрицательных чисел знак произведения определяется по следующим правилам:

Произведение двух положительных чисел является положительным. Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа является отрицательным.
Произведение двух отрицательных чисел положительно.

Например:

[латекс] (- 2) × 3 = −6 [/ латекс]

Это просто потому, что сложение −2 три раза дает −6:

[латекс] (- 2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 [/ латекс]

Однако

[латекс] (- 2) × (−3) = 6 [/ латекс]

Здесь снова идея заключается в том, что потеря долга — это то же самое, что получение кредита. В этом случае потерять два долга по три штуки в каждом — это то же самое, что получить кредит в шесть раз:

[латекс] \ left (−2 \ text {долгов} \ right) \ times \ left (−3 \ text {each} \ right) = +6 \ text {кредит} [/ latex]

Дивизион

Знаковые правила деления такие же, как и для умножения.

Разделение двух положительных чисел дает положительное число.
Разделение одного положительного числа и одного отрицательного числа дает отрицательное число.
Разделение двух отрицательных чисел дает положительное число.

Если у делимого и делителя один и тот же знак, то есть результат всегда положительный. Например:

[латекс] 8 ÷ (−2) = −4 [/ латекс]

[латекс] (- 8) ÷ 2 = −4 [/ латекс]

но

[латекс] (- 8) ÷ (−2) = 4 [/ латекс].

Дополнительные соображения

Основные свойства сложения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) также применимы к отрицательным числам. Например, следующее уравнение демонстрирует свойство распределения:

[латекс] -3 (2 + 5) = (-3) \ cdot 2 + (-3) \ cdot 5 [/ латекс]

Дроби

Дробь представляет собой часть целого и состоит из целого числителя и ненулевого целого знаменателя.

Цели обучения

Вычислить результат операций с дробями

Основные выводы

Ключевые моменты

Для сложения и вычитания дробей необходимы «одинаковые количества» — общий знаменатель.Чтобы сложить или вычесть дроби, содержащие различающиеся количества (например, прибавление четвертей к третям), необходимо преобразовать все суммы в одинаковые количества.
Умножение дробей требует умножения числителей друг на друга, а затем знаменателей друг на друга. Быстрый путь — использовать стратегию отмены, которая уменьшает числа до минимально возможных значений перед умножением.
Деление на дроби предполагает умножение первого числа на величину, обратную второму числу.

Ключевые термины

числитель : Число, которое находится над чертой дроби и представляет собой часть целого числа.
обратная : дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель поменялись местами.
знаменатель : Число под чертой дроби и представляет собой целое число.
дробь : отношение двух чисел — числителя и знаменателя — обычно записываемых одно над другим и разделенных горизонтальной чертой.

Дробь представляет собой часть целого. Обычная дробь, например [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex], [latex] \ frac {8} {5} [/ latex] или [latex] \ frac {3} {4} [/ latex], состоит из целого числителя (верхнее число) и ненулевого целого знаменателя (нижнее число). Числитель представляет определенное количество равных частей целого, а знаменатель указывает, сколько из этих частей необходимо, чтобы составить одно целое. Пример можно увидеть на следующем рисунке, на котором торт разделен на четвертинки:

Четверти торта: Торт с удаленной четвертью.Показаны остальные три четверти. Пунктирными линиями обозначены места, где можно разрезать торт, чтобы разделить его на равные части. Каждая оставшаяся четверть торта обозначается дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

Дополнение

Добавление одинаковых количеств

Первое правило сложения дробей — начать с добавления дробей, которые содержат одинаковые знаменатели, например, кратные четверти или четверти. Четверть представлена дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], где числитель 1 представляет одну четверть, а знаменатель 4 представляет количество четвертей, необходимое для создания целого , или один доллар.

Представьте себе, что один карман содержит две четвертинки, а другой карман — три четверти. Всего пять кварталов. Поскольку четыре четверти эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {4} + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {4} = 1 \ frac {1} {4} [/ latex]

Сложение отличных величин

Чтобы добавить дроби, которые содержат знаменатели в отличие от (например, четверти и трети), необходимо сначала преобразовать все суммы в одинаковые величины, что означает, что все дроби должны иметь общий знаменатель.Один простой способ найти знаменатель, который даст вам одинаковые количества, — это просто перемножить два знаменателя дробей. (Важно помнить, что каждый числитель также должен быть умножен на то же значение, на которое умножается его знаменатель, чтобы дробь представляла то же отношение.)

Например, чтобы прибавить четверти к третям, оба типа дробей преобразуются в двенадцатые:

[латекс] \ displaystyle \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} = \ frac {1 \ cdot 4} {3 \ cdot4} + \ frac {1 \ cdot3} {4 \ cdot3} = \ frac {4} {12} + \ frac {3} {12} = \ frac {7} {12} [/ latex]

Этот метод можно алгебраически выразить следующим образом:

[латекс] \ displaystyle \ frac {a} {b} + \ frac {c} {d} = \ frac {ad + cb} {bd} [/ latex]

Этот метод работает всегда.Однако иногда есть более быстрый способ — использовать меньший знаменатель или наименьший общий знаменатель. Например, чтобы добавить [latex] \ frac {3} {4} [/ latex] к [latex] \ frac {5} {12} [/ latex], знаменатель 48 (произведение 4 и 12, два знаменатели), но можно использовать и меньший знаменатель 12 (наименьшее общее кратное 4 и 12).

Сложение дробей к целым числам

Что делать, если к целому числу прибавляется дробная часть? Просто начните с записи целого числа в виде дроби (напомним, что целое число имеет знаменатель [латекс] 1 [/ латекс]), а затем продолжайте описанный выше процесс сложения дробей.

Вычитание

Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и процесс их сложения. Найдите общий знаменатель и замените каждую дробь на эквивалентную дробь, используя этот общий знаменатель. Затем вычтите числители. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} — \ frac {1} {2} = \ frac {2 \ cdot 2} {3 \ cdot2} — \ frac {1 \ cdot3} {2 \ cdot3} = \ frac {4} {6} — \ frac {3} {6} = \ frac {1} {6} [/ latex]

Чтобы вычесть дробь из целого числа или вычесть целое число из дроби, перепишите целое число как дробь, а затем выполните описанный выше процесс вычитания дробей.

Умножение

В отличие от сложения и вычитания, при умножении знаменатели не обязательно должны быть одинаковыми. Чтобы умножить дроби, просто умножьте числители друг на друга, а знаменатели друг на друга. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {6} {12} [/ latex]

Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, дроби могут быть уменьшены до наименьших значений до или после умножения. Например, полученная дробь может быть уменьшена до [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], потому что числитель и знаменатель делят множитель 6.В качестве альтернативы дроби в исходном уравнении можно было бы уменьшить, как показано ниже, потому что 2 и 4 имеют общий множитель 2, а 3 и 3 имеют общий множитель 3:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {1} {1} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} { 2} [/ латекс]

Чтобы умножить дробь на целое число, просто умножьте это число на числитель дроби:

[латекс] \ displaystyle \ frac {3} {4} \ cdot 5 = \ frac {15} {4} [/ latex]

Обычная ситуация, когда умножение дробей бывает полезным, — это во время готовки.Что, если кто-то захочет «половину» рецепта печенья, для которого требуется [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] чашки шоколадной стружки? Чтобы найти необходимое количество шоколадной крошки, умножьте [латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} [/ latex]. В результате получается [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], поэтому правильное количество шоколадной стружки составляет [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] чашки.

Дивизион

Процесс деления числа на дробь влечет за собой умножение числа на обратную дробь.Обратная величина — это просто дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель меняются местами. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ div \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {4} {3} = \ frac {4} { 6} = \ frac {2} {3} [/ latex]

Чтобы разделить дробь на целое число, либо разделите числитель дроби на целое число (если оно делится просто):

[латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ frac {10 \ div 2} {3} = \ frac {2} {3} [/ latex]

или умножьте знаменатель дроби на целое число:

[латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ displaystyle \ frac {10} {3 \ cdot5} = \ frac {10} {15} = \ frac {2} {3} [/ латекс]

Сложные фракции

Комплексная дробь — это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями, которые могут содержать переменные, константы или и то, и другое.

Цели обучения

Упростить сложные дроби

Основные выводы

Ключевые моменты

Сложные дроби включают такие числа, как [latex] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [латекс] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex], где числитель, знаменатель или оба включают дроби.
Прежде чем решать сложные рациональные выражения, полезно их максимально упростить.
«Метод комбинирования-деления» для упрощения сложных дробей влечет за собой (1) объединение членов в числителе, (2) объединение членов в знаменателе и, наконец, (3) деление числителя на знаменатель.

Ключевые термины

комплексная дробь : отношение, в котором числитель, знаменатель или оба сами являются дробями.

Комплексная дробь, также называемая комплексным рациональным выражением, — это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями. Например, [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [latex] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex] — сложные дроби. При работе с уравнениями, которые включают сложные дроби, полезно упростить сложную дробь перед тем, как решать уравнение.

Процесс упрощения сложных дробей, известный как «метод комбинирования-деления», выглядит следующим образом:

Объедините члены в числителе.
Объедините члены в знаменателе.
Разделите числитель на знаменатель.

Пример 1

Давайте применим этот метод к первой комплексной дроби, представленной выше:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)}} [/ латекс]

Поскольку нет терминов, которые можно объединить или упростить ни в числителе, ни в знаменателе, мы перейдем к шагу 3, разделив числитель на знаменатель:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} = \ frac {8} {15} \ div \ frac {2} {3}} [/ латекс]

Из предыдущих разделов мы знаем, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби.Поэтому мы используем метод сокращения, чтобы максимально упростить числа, а затем умножаем его на упрощенную обратную величину делителя или знаменателя дроби:

[латекс] \ displaystyle {{\ frac 8 {15}} \ cdot {\ frac 32} = {\ frac 4 {5}} \ cdot {\ frac 11} = {\ frac 4 {5}}} [/ латекс]

Следовательно, комплексная дробь [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] упрощается до [ латекс] \ frac {4} {5} [/ латекс].

Пример 2

Давайте попробуем другой пример:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)}} [/ латекс]

Начните с шага 1 описанного выше метода комбинирования-деления: объедините члены в числителе. 5 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 243 [/ латекс]

Показатели 0 и 1

Любое число, возведенное в степень [латекс] 1 [/ латекс], является самим числом.0 = 1 [/ латекс].

Порядок действий

Порядок операций — это подход к оценке выражений, включающих несколько арифметических операций.

Цели обучения

Различие между правильным и неправильным использованием порядка операций

Основные выводы

Ключевые моменты

Порядок операций предотвращает двусмысленность математических выражений.
Порядок операций следующий: 1) упростить члены в круглых или квадратных скобках, 2) упростить показатели и корни, 3) выполнить умножение и деление, 4) выполнить сложение и вычитание.
Умножение и деление имеют равный приоритет, равно как и сложение и вычитание. Это означает, что операции умножения и деления (а также операции сложения и вычитания) могут выполняться в том порядке, в котором они появляются в выражении.
Полезная мнемоника для запоминания порядка действий — PEMDAS, иногда расширяемая до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

Ключевые термины

математическая операция : действие или процедура, которая создает новое значение из одного или нескольких входных значений.

Порядок операций — это способ вычисления выражений, которые включают более одной арифметической операции. Эти правила говорят вам, как вам следует упростить или решить выражение или уравнение таким образом, чтобы получить правильный результат.

Например, когда вы встретите выражение [латекс] 4 + 2 \ cdot 3 [/ latex], как вы поступите?

Один вариант:

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot3 & = (4 + 2) \ cdot 3 \\ & = 6 \ cdot 3 \\ & = 18 \ end {align} [/ latex]

Другой вариант:

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot 3 & = 4+ (2 \ cdot 3) \\ & = 4 + 6 \\ & = 10 \ end {align} [/ latex]

Какой порядок действий правильный?

Чтобы иметь возможность общаться с помощью математических выражений, у нас должен быть согласованный порядок операций, чтобы каждое выражение было однозначным.Например, для приведенного выше выражения все математики согласятся, что правильный ответ — 10.

Порядок операций, используемых в математике, науке, технике и во многих языках программирования, следующий:

Упростите термины в круглых или квадратных скобках
Упростить экспоненты и корни
Выполнить умножение и деление
Выполнить сложение и вычитание

Эти правила означают, что в математическом выражении сначала должна выполняться операция, имеющая наивысший рейтинг в списке.3 \\ & = 6-5 + 8 \\ & = 1 + 8 \\ & = 9 \ end {align} [/ latex]

Примечание о равной приоритетности

Поскольку умножение и деление имеют равный приоритет, может быть полезно думать о делении на число как о умножении на обратную величину этого числа. Таким образом, [латекс] 3 \ div 4 = 3 \ cdot \ frac {1} {4} [/ latex]. Другими словами, частное 3 и 4 равно произведению 3 и [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

Точно так же, поскольку сложение и вычитание имеют равный приоритет, мы можем думать о вычитании числа как о сложении отрицательного числа.Таким образом [латекс] 3−4 = 3 + (- 4) [/ латекс]. Другими словами, разница 3 и 4 равна сумме положительных трех и отрицательных четырех.

При таком понимании представьте [латекс] 1−3 + 7 [/ latex] как сумму 1, минус 3 и 7, а затем сложите эти термины вместе. Теперь, когда вы изменили структуру операций, любой заказ будет работать:

[латекс] (1-3) + 7 = -2 + 7 = 5 [/ латекс]
[латекс] (7−3) + 1 = 4 + 1 = 5 [/ латекс]

Важно сохранять отрицательный знак с любым отрицательным числом (здесь 3).

Мнемоника

В США аббревиатура PEMDAS является распространенным мнемоническим символом для запоминания порядка операций. Это означает круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение и вычитание. PEMDAS часто расширяется до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

Эта мнемоника может вводить в заблуждение, однако, поскольку «MD» подразумевает, что умножение должно выполняться перед делением, а «AS» — это сложение перед вычитанием, а не признание их равного приоритета.Чтобы проиллюстрировать, почему это проблема, рассмотрим следующее:

[латекс] 10-3 + 2 [/ латекс]

Это выражение правильно упрощается до 9. Однако, если вы сначала сложите 2 и 3, чтобы получить 5, и , затем выполнил вычитание, вы получили бы 5 в качестве окончательного ответа, что неверно. Чтобы избежать этой ошибки, лучше всего рассматривать эту проблему как сумму положительных десяти, отрицательных трех и положительных двух.

[латекс] 10 + (- 3) +2 [/ латекс]

Чтобы полностью избежать этой путаницы, альтернативный способ записи мнемоники:

-П

Или просто как PEMA, где учат, что умножение и деление по своей сути имеют один и тот же приоритет, а сложение и вычитание по своей сути имеют одинаковый приоритет.Эта мнемоника проясняет эквивалентность умножения и деления, а также сложения и вычитания.

Онлайн-калькулятор дробей с шагами

Отзывы о калькуляторе верхней фракции

!

Калькулятор дробей — Заговор

Не забывайте, используйте наши совершенно бесплатные онлайн-математические калькуляторы только в том случае, если вы уже знаете, как решать задачи вручную. Конфискованная лицензия или карточка должны быть переданы в районную полицию в течение одного дня после конфискации.В дополнение к игре на том же сайте есть несколько удобных демонстраторов эквивалентности дробей.

Кулинария требует большого количества фракций, а рецепты включают в себя много полчашек и четвертинок. Частые использования дробей бесконечны, и вы должны понимать, как их использовать.

Вы можете сравнить несколько дробей. Объясните, что иногда их нужно переименовывать, чтобы с ними было легче работать. Со смешанными фракциями нелегко работать, и для их расчетов требуется определенное время.

Вычитание дроби в основном то же самое, что и сложение дробей. Они часто используются в математике, потому что они более точны, чем десятичный эквивалент. Дроби и десятичные дроби используются для обозначения любого числа, меньшего единицы.

Калькулятор дробей: больше не загадка

Среди проблем с дробями есть то, что они имеют разное значение в зависимости от контекста. Результат эквивалентен 23. Он равен 625.

Должен признаться, что у меня смешанные чувства по поводу этого исследования.Это упражнение продолжит поддерживать ваш разум в активном состоянии и, кроме того, поможет быстро проверить ваш ответ, если что-то пойдет не так, тогда вы сможете быстро получить представление о том, где ваши расчеты ошиблись и сделали их правильными. Как следствие, мы говорим, что неопределенное выражение является уникальным типом неопределенного выражения.

Ложь, которую вам рассказали о калькуляторе дробей

Финансы требуют особого внимания, поэтому важно постоянно вести учет денег. Калькулятор SIP продемонстрирует, как инвестиции, сделанные небольшими суммами с фиксированными интервалами, могут принести более высокую прибыль в течение длительного времени.Пожалуйста, не обращайтесь за помощью к веб-мастеру.

Например, один сайт может проинформировать вас, чтобы вы начали откладывать 60 процентов вашего дохода, а другой посоветовал вам начать экономить 30 процентов. Если вы хотите воспользоваться этим правом, свяжитесь с нами, используя указанную ниже контактную информацию. Пожалуйста, не обращайтесь за помощью к веб-мастеру.

Вы можете увидеть текущие математические вычисления на более компактном дисплее, который находится под самым важным дисплеем калькулятора.Кроме того, метод Calculate следует назвать Calculate, чтобы соответствовать соглашениям о кодировании Java. Теперь каждый раз, когда вы сбрасываете или перезапускаете приложение, вам будут отображаться эти значения по умолчанию.

Как только вы это сделаете, вы просто добавите числители. Числитель позволяет узнать количество определенного качества (знаменатель), с которым вы работаете. Дроби, числители и знаменатели которых не имеют одинакового числового значения, не обязательно являются неравными.

Чтобы использовать наилучший общий множитель для упрощения дробей, вы сначала должны найти наилучший общий множитель числителя и знаменателя.Поэтому, когда вам нужно разделить числитель на число, вам также нужно разделить знаменатель на точно такое же число. Два знаменателя следует заменить в точном знаменателе, прежде чем можно будет сложить.

Ключевым моментом для правильного вычитания дробей является постоянное помнить, что самая важная часть дроби — это число под линией, называемое знаменателем. Число внизу называется знаменателем.Верхняя половина называется числителем.

Хроники калькулятора дробей

Решение дробных задач в научном калькуляторе или дробном калькуляторе — одна из наиболее важных задач для всех новичков. Нет необходимости в упрощении, так как лучший общий элемент — 1. В этом разделе можно найти калькуляторы, которые помогут вам с простейшими арифметическими упражнениями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление.

Нажмите кнопку «Равно», если вы закончили с дробью.Экран должен отображаться на обложке целого числа 1542. Затем вы можете использовать другие кнопки, чтобы самостоятельно исследовать дробь.

Этот способ также называется уменьшением или уменьшением дроби. Процедура частичного разложения на дробь — это практика нахождения таких числителей. Этот вид пара производится с добавлением тепла, превышающего пороговое значение для насыщенного пара.

Этот калькулятор целых дробей создан для того, чтобы удовлетворить потребности абсолютно всех, кто имеет дело с дробями.Если хотите, подумайте о преобразовании a40 из одной шкалы в другую. Цель игры — сравнить дроби и щелкнуть по дроби с максимальным значением.

Калькулятор дробей — Заговор

Излишне говорить, что для многих вид пары дробей совсем не аппетитный. Таким образом, более крупный бриллиант будет дороже, чем оба более компактных бриллианта, сложенные вместе. Держа почти все эти руки, ваш покерный калькулятор будет подсказывать вам сбросить карты.

Принципы расчета дробей, которым вы можете научиться, начиная с сегодняшнего дня

Поскольку в любом случае необходимо написать и метод, и его тест, вы можете сделать это в правильном порядке.Есть еще одно решение, которое вы хотите принять. Следуйте приведенным ниже инструкциям, чтобы выполнить желаемую операцию с дробями.

Калькулятор дробей

— это афера?

Дополнительно есть несколько инструментов налогового планирования, которые также помогают сократить обязательства, рекомендуя наиболее эффективные планы экономии налогов. Это позволит вам проверить и увидеть, испытываете ли вы понимание такого рода проблем. Другой недостаток заключается в том, что не так много советов для людей, подозревающих, что они могут понести дополнительные расходы на здравоохранение или расходы на содержание потенциальных иждивенцев.

Жизненно важный вопрос для правильного присоединения дробей состоит в том, чтобы всегда помнить, что основная область дроби — это число под линией, называемое знаменателем. Этот калькулятор дробей — полезный инструмент, но он не заменяет эффективный математический ум! Дробь представляет собой часть целого или множество равных частей.

Калькулятор дробей

— живой или мертвый?

Дробь — это результат деления двух целых чисел.Функция здесь отображает сумму активности мозга, относящуюся к определенному числу. Если вам нужно упростить, обязательно разделите на лучший общий элемент.

Калькулятор дробей Обзоры и руководство

Не забывайте, используйте наши совершенно бесплатные онлайн-математические калькуляторы только в том случае, если вы уже знаете, как решать задачи вручную. Конфискованная лицензия или карточка должны быть переданы в районную полицию в течение одного дня после конфискации. В дополнение к игре на том же сайте есть несколько удобных демонстраторов эквивалентности дробей.

Использовано безжалостных стратегий калькулятора дробей

Внутри этой викторины вам будет предоставлен набор дробей и предложено максимально упростить их. Частые использования дробей бесконечны, и вы должны понимать, как их использовать.

Вам будет прямо показано следствие дробей. Для начала уменьшите дробь, если она еще не уменьшилась. Хотя дроби не считаются слишком сложным понятием в современной алгебре, некоторым может быть сложно управлять дробями, даже если мы говорим о выполнении довольно простых операций.

Калькулятор умножения 3 дробей — это простой и совершенно бесплатный онлайн-инструмент, который может легко вычислить произведение 3 дробей. Для большинства людей они — один из самых страшных кошмаров в математике. Умножение и деление более двух дробей.

Что нужно сделать, чтобы узнать о калькуляторе дробей, прежде чем вы останетесь позади

Очевидно, что другой приказ дает такой же результат. По правде говоря, этого следовало ожидать. Фактически, в одном смысле это не так.

Должен признаться, что у меня смешанные чувства по поводу этого исследования. Это упражнение продолжит поддерживать ваш разум в активном состоянии и, кроме того, поможет быстро проверить ваш ответ, если что-то пойдет не так, тогда вы сможете быстро получить представление о том, где ваши расчеты ошиблись и сделали их правильными. Если в выражении есть десятичная дробь, вам нужно ожидать, что ответ будет в десятичной форме.

Калькулятор дробей — Обзор

Есть несколько причин, по которым можно сделать выбор в пользу лучших интернет-калькуляторов там, где вы находитесь.Он генерирует точную налогооблагаемую сумму вместе с налогами, подлежащими уплате, чтобы помочь инвесторам легко подать налоговую декларацию. Во-первых, он ошибочно принимает количество транзакций с диапазоном платежей.

Например, один сайт может проинформировать вас, чтобы вы начали откладывать 60 процентов вашего дохода, а другой посоветовал вам начать экономить 30 процентов. Чтение интернет-обзоров будет иметь решающее значение для того, чтобы вы обратились к услугам экспертов, обладающих опытом работы с лучшими интернет-калькуляторами.Здесь вы найдете некоторую простую информацию и советы о том, как упростить дробь.

Подробная информация о калькуляторе дробей

После того, как важная информация будет введена, вычисленная солнечная доля будет сообщена в основании электронной таблицы. Есть много причин использовать программный калькулятор, который обладает всеми функциями дорогостоящей физической версии. Калькулятор с кнопкой дроби — частый выбор для максимальных научных расчетов наряду с графическими калькуляторами.

Ловушка для вычисления дробей

Из вышеизложенного мы уже знаем, что существуют эквивалентные дроби-дроби, которые имеют одинаковое значение, даже если у них разные числители и знаменатели. Если вам нужна смешанная дробь, вы можете получить новые числа.

Конечным результатом будет новый числитель, а знаменатель останется без изменений. Просто продолжайте упрощать дробь, пока ее нельзя будет упростить. Процедура может стать немного сложнее, если мы столкнемся с обстоятельствами, когда знаменатели дробей, участвующих в вычислении, различаются.

Ключевым моментом для правильного вычитания дробей является постоянное помнить, что самая важная часть дроби — это число под линией, называемое знаменателем. Верхнее число называется числителем, а нижнее число — знаменателем. Верхняя половина называется числителем.

Что нужно знать о калькуляторе дробей

CAS встроен в графический калькулятор HP 40gs для упрощения манипуляций с числовыми трудностями, которые необходимо решить.Основная причина заключается в том, что он использует алгоритм Евклида для уменьшения дробей, который доступен на The Math Forum. После этого калькулятор попросит вас угадать, где находится точка пересечения.

Нажмите кнопку «Равно», если вы закончили с дробью. Клиентов следует попросить вынуть удостоверение личности из кошелька, чтобы можно было разобраться с идентификатором и проверить его на наличие признаков изменения. Выбирайте любую операцию по вашему желанию.

Принципы расчета дробей, которые вы сможете усвоить с самого начала

Этот способ также называется уменьшением или уменьшением дроби.Процедура частичного разложения на дробь — это практика нахождения таких числителей. При выборе оператора результат будет показан ниже после знака равенства.

Следующий шаг — переписать дробь для соотношения. По мере уменьшения масштаба достоверность измерения уменьшается, поскольку количество объектов на карте приходится преувеличивать, чтобы их можно было легко идентифицировать. Цель игры — сравнить дроби и щелкнуть по дроби с максимальным значением.

Калькулятор битвы за дроби и как его выиграть

В конце концов, это бесплатно, так что больше ничего нельзя запросить. Поэтому, если кто-то спросит вас, сколько седьмых составляет три четверти или что-то подобное, вы будете знать, что делать. Никто не хочет избавляться от денег, но всем хочется, чтобы они приумножались.

Вся правда о калькуляторе дробей

Наш калькулятор выполняет широкий спектр операций, которые очень просто выполнять вручную.Вам не будут показаны какие-либо шаги относительно того, как был произведен этот расчет. Вам не нужно составлять дроби на бумаге, а после этого продолжать решать их шаг за шагом, у нас есть калькулятор специально для вас, чтобы не проходить традиционную процедуру решения дробей, которая утомительна.

На самом деле их масштабы настолько велики, что в дальнейшем полностью подрывают эффективные процедуры повторного использования. Что касается коммуникации, эта метрика является абсолютным гением, особенно для тех, кто хочет создать точку против PoW Биткойна.Использование калькулятора — хорошее средство для самопроверки, поняли ли вы свои дробные знания!

Полный вес всех бриллиантов составляет одну целую двадцать семь карат. Очевидно, что калькулятор сможет помочь вам составить такую таблицу. Дробь представляет собой часть целого или множество равных частей.

Дробь — это результат деления двух целых чисел. Функция здесь отображает сумму активности мозга, относящуюся к определенному числу. Если вам нужно упростить, обязательно разделите на лучший общий элемент.

Калькулятор нюансов дробей

Ключевой особенностью здесь является главный указатель. Если вам необходимо изменить числитель, вы всегда можете вернуться в верхнее окно, нажав курсорную клавишу вверх. Шаблон суммирования можно использовать для получения суммы последовательности.

Жизненно важный вопрос для правильного присоединения дробей состоит в том, чтобы всегда помнить, что основная область дроби — это число под линией, называемое знаменателем. Этот калькулятор дробей — полезный инструмент, но он не заменяет эффективный математический ум! 1 подход к пониманию дроби как части целого.

Онлайн калькулятор дробей

Проверьте свои дробные ответы в домашнем задании с помощью примера решения, чтобы получить руководство, которое позволит вам ответить на вопросы, которые у вас нет. Одним из основных преимуществ использования этого сайта является возможность узнать массу информации об операциях с дробями, так что вскоре вы сможете выполнять такие операции и решать проблемы самостоятельно. Хорошим примером этого является то, как он лечит инфляцию в сфере здравоохранения.

В отличие от семерки, это большее количество может быть большим количеством разных чисел.Перейдем к более сложным выражениям. Если вы сделаете свою работу быстрее и эффективнее, это поможет вам в целом зарабатывать больше денег.

Калькулятор нюансов дробей

По их мнению, вы можете создать абстрактный класс. Понимание того, как находить и использовать дроби, поможет вам, когда вы столкнетесь с повседневными делами в своей жизни. Узнайте о дробях в этой увлекательной игре с дробями для детей.

Выбор калькулятора верхней фракции

Вы просто используете произведение обоих знаменателей в качестве частого знаменателя.Затем, чтобы получить числитель для ответа, умножьте оба числителя дробей, с которой вы начинаете. Дроби, числители и знаменатели которых не имеют одинакового числового значения, не обязательно являются неравными.

Наибольший общий аспект — это наибольшее число, используемое для деления числителя и знаменателя, чтобы найти самый простой тип дроби. Самый простой способ — умножить оба знаменателя. По правде говоря, подойдет любой частый знаменатель, но люди предпочитают найти самый маленький.

Ключевым моментом для правильного вычитания дробей является постоянное помнить, что самая важная часть дроби — это число под линией, называемое знаменателем. Самая лучшая часть известна как числитель и говорит нам, сколько этих частей у нас есть. Достаточно просто вычислить, что две половинки составляют одну, но как насчет попытки вычислить разницу между двумя дробями, у которых нет в точности одного и того же знаменателя.

Значок с тремя полосами в верхнем левом углу откроет окно настроек, в котором вы сможете изменить значения по умолчанию, которые будут использоваться дробями каждый раз, когда вы запускаете приложение.Есть много причин использовать программный калькулятор, который обладает всеми функциями дорогостоящей физической версии. Калькулятор с кнопкой дроби — частый выбор для максимальных научных расчетов наряду с графическими калькуляторами.

Последующее число затем показано деленным на ту же степень 10, чтобы представить исходное число для дроби. Есть 3 различных уровня. Найдите эти количества.

Мои ученики обнаружили, что простые пошаговые инструкции и объяснения того, как работает формула, являются фантастической помощью.Процедура использования нашего калькулятора для определения наклона линии очень проста и удобна. Вам не нужно составлять дроби на бумаге, а после этого продолжать решать их шаг за шагом, у нас есть калькулятор специально для вас, чтобы не проходить традиционную процедуру решения дробей, которая утомительна.

Есть несколько причин, по которым можно сделать выбор в пользу лучших интернет-калькуляторов там, где вы находитесь. Он генерирует точную налогооблагаемую сумму вместе с налогами, подлежащими уплате, чтобы помочь инвесторам легко подать налоговую декларацию.Во-первых, он ошибочно принимает количество транзакций с диапазоном платежей.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться к нам по электронной почте eBay. Чтение интернет-обзоров будет иметь решающее значение для того, чтобы вы обратились к услугам экспертов, обладающих опытом работы с лучшими интернет-калькуляторами. Пожалуйста, не обращайтесь за помощью к веб-мастеру.

Еще одна вещь, которую вам следует знать об онлайн-калькуляторах, — это то, что они просты в использовании и, следовательно, вы гарантированно избежите любых неудобств.Упражнение очень легко связано с понятием умножения. К счастью, проблему можно обойти.

Однако утверждения, основанные на фактах, могут быть сильнее. Это упражнение продолжит поддерживать ваш разум в активном состоянии и, кроме того, поможет быстро проверить ваш ответ, если что-то пойдет не так, тогда вы сможете быстро получить представление о том, где ваши расчеты ошиблись и сделали их правильными. Как следствие, мы говорим, что неопределенное выражение является уникальным типом неопределенного выражения.

Калькулятор дробей может быть интересен для всех

Также существует ряд других форм вычисления дроби. Точно так же это также бесценно для понимания того, как преобразовать Цельсий в Фаренгейт. Смешанная дробь включает целое число и дробь.

Следующий шаг — переписать дробь для соотношения. Если хотите, подумайте о преобразовании a40 из одной шкалы в другую. Получение графена из диоксида углерода было продемонстрировано в лабораторных условиях с помощью различных процессов.

Fraction Frog — это интернет-калькулятор дробей, который не только предлагает ответ на проблему с дробями. Дроби могут быть отрицательными, но в этом калькуляторе нельзя вводить отрицательные значения. Напишите тесты для всех общедоступных методов в Fraction.

Может потребоваться сначала указать общие знаменатели дробей. Умножить дроби просто, просто умножьте поперёк. Упрощение дробей часто требуется, когда ваш ответ не соответствует форме, необходимой для задания.

Оттуда при необходимости можно упростить дробь. Для начала уменьшите дробь, если она еще не уменьшилась. Хотя дроби не считаются слишком сложным понятием в современной алгебре, некоторым может быть сложно управлять дробями, даже если мы говорим о выполнении довольно простых операций.

Калькулятор умножения 3 дробей — это простой и совершенно бесплатный онлайн-инструмент, который может легко вычислить произведение 3 дробей. Они часто используются в математике, потому что они более точны, чем десятичный эквивалент.Дроби и десятичные дроби используются для обозначения любого числа, меньшего единицы.

Сложите и возьмите процент от числа в Excel с примерами

В различных видах деятельности необходимо рассчитывать проценты. Мы должны понимать, как мы их «получаем». Торговые надбавки, НДС, скидки, доходность вкладов, ценные бумаги и даже чаевые — все это рассчитывается в виде какой-то части от целого.

Разберемся, как работать с процентами в Excel.Эта программа рассчитывает автоматически и допускает разные варианты одной и той же формулы.

Взаимодействие с другими людьми

Работа с процентами в Excel

Посчитать процентное соотношение числа, сложить и взять проценты на современном калькуляторе несложно. Главное условие — соответствующий значок (%) на клавиатуре. И только тогда дело в технике и внимательности.

Например 25 + 5%. Чтобы найти значение выражения, нужно набрать на калькуляторе заданную последовательность чисел и знаков.Результат — 26,25. С такой техникой не нужен большой интеллект.

Чтобы формулировать формулы в Excel, вспомним школьные азы:

Процент — одна сотая часть целого.

Чтобы найти процент от целого числа, нужно разделить требуемую дробь на целое число и умножить на 100.

Пример: было куплено 30 штук товара. В первый день было продано 5 единиц. Сколько процентов товаров было продано?

5 — это часть.30 — целое число. Подставляем данные в формулу:

(5/30) * 100 = 16,7%

Чтобы добавить процент к числу в Excel (25 + 5%), вы должны сначала найти 5% от 25. В школе была пропорция:

Х = (25 * 5) / 100 = 1,25

После этого можно выполнить сложение. Когда базовые навыки работы с компьютером восстановлены, формулы легко понять.

Взаимодействие с другими людьми

Как рассчитать процент от числа в Excel

Есть несколько способов.

Адаптируйте математическую формулу к программе: (Часть / Целое) * 100.

Внимательно посмотрите на строку формулы и результат. Результат оказался верным. Но мы не умножили на 100. Почему?

В Excel формат ячеек меняется. Для С1 мы назначили формат «Процент». Это означает умножение значения на 100 и вывод его на экран со знаком%. При необходимости вы можете установить определенное количество цифр после десятичной точки.

Теперь посчитаем, сколько будет 5% от 25.Для этого введите в ячейку формулу: = (25 * 5) / 100. Результат:

Другой вариант = (25/100) * 5. Результат будет таким же.

Давайте рассмотрим пример другим способом, используя знак% на клавиатуре:

Применим полученные знания на практике.

Стоимость товара и ставка НДС (18%) известны. Нам нужно рассчитать сумму НДС.

Умножаем стоимость товара на 18%. Скопируйте формулу для всего столбца. Для этого ловим мышку правым нижним углом ячейки и тянем вниз.

Сумма НДС, ставка известна. Мы должны определить стоимость товара. Формула расчета: = (B1 * 100) / 18. Результат:

Количество проданного товара известно, отдельно и целиком. Необходимо найти долю продаж каждой единицы относительно целого. Формула расчета остается прежней: Часть / Целое * 100. Только в этом примере мы делаем ссылку на ячейку в знаменателе абсолютной дроби. Используйте знак $ перед именем строки и именем столбца: $ B $ 7.

Как прибавить процент к числу

Задача решается в двух действиях:

Во-первых, находим сколько процентов от числа. Здесь мы подсчитали, сколько будет 5% от 25.
Во-вторых, прибавляем результат к числу. Пример для ознакомления: 25 + 5%.

И здесь мы выполнили собственно сложение. Опустите промежуточный эффект.

Ставка НДС 18%. Нам нужно найти сумму НДС и прибавить ее к цене товара.Формула: = цена + (цена * 18%).

Не забываем про кронштейны! С его помощью устанавливаем порядок расчета.

Чтобы удалить процентное значение из числа в Excel, вы должны выполнить ту же процедуру. Мы выполняем вычитание вместо сложения.

Как посчитать шансы в процентах в Excel?

Какова величина изменения значения в процентах между двумя значениями?

Во-первых, давайте абстрагируемся от Excel. Месяц назад в магазин привезли столы по цене 100 $ за единицу.Сегодня цена покупки 150 $.

Разница в процентах составляет: = (Новая цена — Старая цена) / Старая цена * 100%.

В нашем примере закупочная цена за единицу товара увеличилась на 50%.

Давайте посчитаем процентную разницу между данными в двух столбцах:

Не забудьте выставить формат ячеек «Процент». Рассчитайте процентную разницу между строками:

Формула имеет следующий вид: = (следующее значение — предыдущее значение) / предыдущее значение.

При таком расположении данных первая строка пропускается!

Если вы хотите сравнить данные за все месяцы с январем, например, используйте абсолютную ссылку на ячейку с желаемым значением (знак $).

Как составить диаграмму с процентами

Первый вариант — сделать столбец в таблице данных. Выберите 2 диапазона ячеек A2: A6 и C2: C6 (удерживая нажатой клавишу CTRL). Затем используйте эти данные для построения диаграммы. Выделите ячейки с процентами и скопируйте — нажмите «ВСТАВИТЬ» — выберите тип диаграммы (например «2D Pie») — ОК.

Вариант второй: указать формат подписи данных в виде доли. В мае 22 смены. Вам нужно посчитать процент: объем работы, проделанной каждым рабочим. Составляем таблицу, где в первом столбце указано количество рабочих дней; второй — количество выходных.

Составляем круговую диаграмму. Выберите данные в диапазонах ячеек A2: C6. «ВСТАВИТЬ» — «Вставить круговую или кольцевую диаграмму» — «2D-круговая диаграмма».

Щелкните по ним правой кнопкой мыши — «Добавить метки данных» и «Форматировать метки данных»:

Выберите «Поделиться».На вкладке «LABEL OPTIONS» выбираем процентный формат. Получается так:

Скачать примеры Расчет процентов в Excel

На этом можно остановиться. И вы можете отредактировать его на свой вкус: изменить цвет, внешний вид диаграммы, сделать подчеркивание и так далее.

дробей в 5-м классе (возраст 9–10)

На этой диаграмме показано, как + =, которое может быть записано как неправильная дробь () или как смешанное число (1).

3. Умножить дроби на целые числа

Ваш ребенок научится умножать правильные дроби и смешанные числа на целые числа.

Часто бывает полезно рисовать диаграммы при умножении правильных дробей на целые числа, чтобы ваш ребенок мог представить себе, что это означает. Например, взгляните на диаграмму, которая представляет умноженное на 3:

Рисунки также могут быть отличным способом поддержать вашего ребенка, когда он умножает смешанные числа на целые числа. В следующем примере 1 умножается на 2:

Важно понимать, что × 30 = 30 = 30 ÷ 5.Опять же, вырезки фракций пиццы в буклете «Вычисления дробей в школе» можно использовать, чтобы опробовать некоторые из этих расчетов.

4. Исследовать десятичные дроби

Ваш ребенок будет знать, что десятичные дроби — это еще один способ представления дробей (например, это эквивалентно 0 · 5).

Покажите ребенку число с 3 десятичными знаками и попросите его сказать вам, сколько десятых, сотых или тысячных долей в нем. Например, у числа 4 · 203 две десятых, ноль сотых и три тысячных.

Таблицы значений

могут помочь вашему ребенку лучше понимать десятичные числа:

Найдите примеры этих чисел в реальном мире и покажите их своему ребенку.

Например, заправляя машину бензином, попросите ребенка назвать вам число, объяснив, сколько в нем десятых, сотых или тысячных долей. Вы также можете попросить их округлить общую цену или общее количество бензина в большую или меньшую сторону до ближайшего целого числа, десятых или сотых.Например, если вы использовали 56 · 784 литра бензина, вы можете попросить ребенка округлить это число до ближайшего литра (57 л), десятого (56 · 8 л) или сотого (56 · 78 л).

5. Изучите проценты

В 5 классе вашего ребенка познакомят с процентами. Поговорите о том, как «процент» означает «количество частей на сотню».

Поговорим о числах, которые представлены в процентах. Например, вы можете выяснить, какая доля девочек в классе вашего ребенка в школе.Попросите их рассказать вам, как представить процент в виде дроби и десятичной дроби (например, 55% = 0,55).

Продажи в магазинах могут предоставить отличные реальные возможности для работы с процентами. Например, вы можете попросить ребенка помочь вам определить продажную цену товара. Если на футболку действует скидка 30%, а полная цена составляет 9,99 фунтов стерлингов, что составляет 30% от полной цены и какова цена продажи?

Калькулятор частичного разложения дроби — eMathHelp

Этот онлайн-калькулятор найдет частичное дробное разложение рациональной функции с указанными шагами.3 (х).

Из приведенной ниже таблицы вы можете заметить, что sech не поддерживается, но вы все равно можете ввести его, используя идентификатор `sech (x) = 1 / cosh (x)`.

Если вы получили сообщение об ошибке, дважды проверьте свое выражение, добавьте круглые скобки и знаки умножения там, где это необходимо, и обратитесь к таблице ниже. -1 (x) acoth (x) acosh (1 / x) asech (x) asinh (1 / x) acsch (x)

Фракционные полоски

Описание
Примеры
Видео
Настройка инструмента
Файлы примеров
Функции инструмента Сочетания клавиш
PDF поддерживает

Дробные полосы
Используйте полосы фракций для представления, сравнения, упорядочивания и работы с дробями.Представляйте дроби, перетаскивая их из башни дробей в рабочую область. Кусочки могут быть размещены в линию, образуя поезд . Управляйте частями и поездами, чтобы сравнивать и упорядочивать дроби или моделировать операции с дробями.

Доступ к широкому спектру инструментов аннотации для передачи мышления.
Вставьте изображения в инструмент.
Работа, созданная в математическом инструменте, может быть сохранена и открыта. Сохраненным файлом можно поделиться с коллегами или передать учителю. Файл будет содержать все шаги решения от начала до конца.

Сделайте снимок экрана, чтобы использовать его как часть портфолио, презентации, веб-страницы и т. Д.

наверх

Математические концепции

Создавайте визуальные представления, которые помогают в математическом мышлении, связанном с:

Понимание отношений «часть-целое»
Представление, сравнение и упорядочивание дробей
Итерация единичной дроби путем копирования
Изучение взаимосвязи между количеством равных разделов в целом и дробной единицей (знаменатель)
Поиск эквивалентных дробей
Операции моделирования с дробями
- размещение частей рядом или между собой, чтобы объединить фракции (сложение)
- удаление деталей из поездов (вычитание)
- выравнивание поездов для сравнения дробей с использованием или без использования полос сравнения, в том числе для поиска различий (вычитание)
- копирование полосок или поездов для моделирования повторного сложения (умножения)
- разделение поездов на равные части для нахождения дробной части числа (умножение)

наверх

Соединение фундаментальных математических понятий с помощью дробных полос

Фракционные полоски Фракционные полоски Фракционные полоски Фракционные полоски

Фундаментальные концепции и навыки	Соединения фракционных полосок
Работа с номерами: Понимание и использование чисел (например,g., способность читать, представлять, считать, упорядочивать, оценивать, сравнивать, составлять, разлагать и перекомпоновывать числа).	можно использовать для: признать, что каждое целое в башне фракций разделено на равные части, называемые дробями единиц представляют собой единичные дроби, правильные дроби и неправильные дроби, а также смешанные числа идентифицируют и подсчитывают по дробным единицам (например,г., одна одна седьмая, две 1/7 и т. д.) : составить и разложить целые части с использованием единичных дробей, например, показать, что 9/4 совпадает с двумя целыми и одной четвертой демонстрирует и объясняет концепцию эквивалентных дробей сравнивать и упорядочивать дроби с одинаковыми и непохожими знаменателями, включая правильные дроби, неправильные дроби и смешанные числа
Распознавание и применение понимания свойств числа: Понимание того, как числа ведут себя в операциях, и использование этого понимания для усвоения математических фактов и выполнения вычислений.	можно использовать для:
Освоение математических фактов: Понимание и запоминание математических фактов с использованием различных стратегий.	можно использовать для: применять целочисленные факты, когда учащиеся вычисляют дробные суммы и произведения практиковать и понимать операции с дробями, манипулируя визуальными представлениями
Развитие умственных математических навыков: Выполнение расчетов в уме, практически без использования бумаги, карандаша или калькулятора.	Использование визуальных инструментов при обучении выполнению математических операций позволяет учащимся использовать эти ментальные модели и визуализации для выполнения мысленных вычислений. Студенты будут развивать свои умственные математические навыки с Полоски фракции, поскольку они: решать задачи, связанные с сложением и вычитанием дробей применять навыки оценивания к операциям с целыми числами и дробями
Развитие навыков работы: Выполнение вычислений с легкостью, точностью и согласованностью, а также с общим пониманием чисел и операций, свойств чисел и их соответствующего применения при решении проблем.	можно использовать для: признать обратную зависимость между сложением и вычитанием (например, поскольку 1/6 + 1/3 = 1/2, то 1/2 — 1/6 = 1/3). признать обратную связь между умножением и делением (например, поскольку 1/2 x 6 = 3, то 3 ÷ 1/2 = 6). продемонстрировать взаимосвязь между повторным сложением дробей и умножением этой дроби на целое число решать задачи с дробями

Основы математики — Руководство для учителя

Соединение фундаментальных математических понятий с математикой.ca (Проект)

наверх

Примеры

Представляющий
Представляйте единичные дроби, правильные дроби, неправильные дроби и смешанные числа.

верх

Сравнение
Выравнивайте поезда с помощью встроенной функции привязки.
Увеличение для большей точности.
Линейки, когда они показаны, будут подсвечивать галочки красным, если кусок заканчивается точно в этом месте.
Создайте вертикальную полосу сравнения, чтобы отслеживать позицию между поездами.

наверх

Исследование эквивалентности
Ползунок эквивалентности в башне можно перетащить, чтобы отобразить эквивалентные фракции в башне.
Можно показать линейку с шаговыми переключателями, которые изменяют дробную единицу (например, с третей на шестую), чтобы облегчить переименование дробей.

наверху

Операции

Дополнение Поместите части рядом или между собой, чтобы объединить дроби и выполнить сложение.

Сложить дроби
На рабочем столе щелкните изображение выше, чтобы открыть этот файл.

верх

Вычитание Удалите части из поездов, чтобы выполнить вычитание на вынос.
Выровняйте поезда, чтобы сравнить дроби, с использованием или без использования полос сравнения, чтобы найти разницу.

См. Статью Gazette для получения более подробной информации о представлении, упорядочивании, вычитании и добавлении дробей с помощью полос дроби.

верхняя

Умножение Скопируйте полосы или поезда, чтобы смоделировать повторяющееся сложение.

Найдите дробную часть дроби.

верх

Подразделение Разделение на фракции может быть сложной темой. Студентам полезно понимать разные способы мышления о разделении.
Один из способов приблизиться к делению дроби на целое число — разделить дробь на равные части, как в примере ниже.
Сравнивая этот пример деления с приведенным выше примером умножения, учащиеся могут понять, что действие деления количества на 4 аналогично нахождению одной четвертой этого количества.Это одна из иллюстраций алгоритма инвертировать и умножить .

При делении одной дроби на другую можно подумать о проблеме, задав вопрос: «Сколько из второго количества входит в первое количество». В следующем примере учащемуся предлагается подумать о том, сколько одной четвертой части помещается в половину части.
Здесь ответ — 2, что является целым числом. См. Проблему с лентой ниже, чтобы увидеть пример, когда частное не является целым числом.

См. Статью в бюллетене для получения более подробной информации об умножении и делении дробей с помощью полосок дроби.

верхняя

Видео

Сравнение сложения дробей
Посмотрите видео, в котором следующий вопрос решается с помощью полосок фракций

Проблема с лентой
В 7 классе шьет украшения. У них есть 5 метров ленты. На каждое украшение уходит 2/5 метра ленты.
Сколько украшений они могут сделать? (Изображение проблемы с лентой)

Примечание: Видео ниже было создано с помощью предыдущей версии инструмента Fraction Strips Tool. Откройте проблему с лентой в последней версии Fraction Strips из раздела файлов примеров.

Разработка алгоритма умножения дробей
Это видео было разработано Дэйвом Петро и Жизель Джобин из школьного совета католического округа Виндзор Эссекс.
Спасибо, что поделился!

Концептуальная разработка алгоритма дробного деления
Это видео было разработано Дэйвом Петро и Жизель Джобин из школьного совета католического округа Виндзор Эссекс.
Спасибо, что поделился!

верх
На изображении ниже показано рабочее пространство «Полосы фракций» с:

диалоговое окно «Настройка башни фракций», показывающее
аннотаций (стрелка и текстовое поле)
вставленное изображение (зеленые треугольники и красные трапеции, созданные с помощью инструмента Pattern Blocks)
Две шестые и половина представлены дробными полосами

Детали были сделаны более прозрачными с помощью ползунка, доступного в настройках.

Диалоговое окно «Настройка башни фракций» используется для:

выберите пользовательский цвет для частей дроби (например, половинки были изменены на красный, чтобы соответствовать блокам узора)
выберите, какие полосы появятся в башне

наверх

Файлы примеров

Чтобы получить доступ к образцу файла:

щелкните ссылку в столбце Образец (только для ПК) или
используйте кнопку «Открыть WWW» в диалоговом окне «Настройки» и укажите URL-адрес, или
загрузите файл из столбца URL (щелкните правой кнопкой мыши и сохраните локально на рабочем столе, жестко коснитесь на устройствах с сенсорным экраном) и используйте кнопку Открыть в инструменте, или
добавить файлы примеров математики в папку Google Диска в «Мой диск», что обеспечивает удобный доступ на всех устройствах.

См. Страницу «Операции с файлами» для получения более подробной информации. Примечание. Эти файлы созданы для настольного компьютера и могут открываться не так, как показано на других устройствах.

наверх

Характеристики инструмента

Кнопка	Описание
	Этикетка Переключение между отображением: без меток метки только в башне этикеток в башне и на рабочем месте
	Настроить фракционную башню Откройте диалоговое окно «Настройка башни фракций», чтобы: выбрать цветовую палитру (Радужная, Исходная или Одноцветная) включить или исключить полосы в башне изменить цвет полосок и связанных частей в рабочей области восстановить состояние башни по умолчанию
	Линейка Переключение между не отображаются линейки показаны линейки с линейками и стрелками шага. Примечание: Щелчок стрелок шагового двигателя изменяет количество делений в целом. Галочки подсвечиваются красным, если фигура заканчивается точно в этой позиции.
	Создать панель сравнения Полоса сравнения представляет собой серую вертикальную линию, которая полезна для сравнения дробных полос, особенно когда левые края выровнены. Можно создать несколько полос сравнения. Длину полосы, ее цвет и толщину можно изменить.
	английский / французский Переключайтесь между английским и французским языками.
	Увеличение / уменьшение Используйте кнопку увеличения, чтобы детали выглядели больше. Это полезно для более точного сравнения, особенно при работе с мелкими дробями. Используйте кнопку уменьшения масштаба, чтобы увидеть больше рабочего пространства. Кусочки дроби будут выглядеть меньше. Примечание: При использовании мыши используйте колесо мыши для увеличения или уменьшения масштаба. Если части выбраны, масштабирование будет сосредоточено вокруг выбранных частей. На устройствах с сенсорным экраном используйте жест масштабирования на пустом месте, чтобы увеличивать и уменьшать масштаб.
	Увеличить Увеличьте рабочее пространство так, чтобы были видны все дробные части. В результате можно изменить размер и / или положение элементов.
	Рабочая область прокрутки На рабочем столе используйте полосы прокрутки. На устройствах с сенсорным экраном используйте жест скольжения двумя пальцами на пустом месте.
	Строка эквивалентности Перетащите, чтобы выделить эквивалентные дроби в башне. Чтобы переместить башню, перетащите ее за темно-синюю область на самом верху.
	Изменить высоту башни Перетащите, чтобы отрегулировать высоту башни. Если башня сделана слишком маленькой, отобразится полоса прокрутки, позволяющая отображать скрытые полосы.
	Инструмент аннотации Делайте заметки или выделяйте различные особенности изображения. Подробнее.
	Кнопка вставки изображения Вставьте изображения в инструмент. Подробнее.
	Отменить / Вернуть Сделайте шаг назад или вперед, выполняя действия с инструментом. Эта функция не только полезна для возврата в случае ошибки, но и позволяет учащимся продемонстрировать свою работу от начала до конца. Учащийся может нажимать кнопку «Отменить», пока не окажется в начале решения, а затем нажимать «Вернуть» несколько раз, объясняя каждый шаг. Примечание. Отменить / повторить недоступно для аннотационных объектов.
	Сброс Верните инструмент в исходное состояние. Все объекты в рабочей области будут удалены, а настройки будут восстановлены до значений по умолчанию.
	Информация Показывает диалоговое окно со ссылкой на эту страницу поддержки, форму обратной связи, а также сведения об авторских правах и номер версии.
	Настройки Отображение диалогового окна настроек для: открыть ранее сохраненный файл фракционных полос (работа будет центрирована и автоматически подогнана к окну) сохранить работу в файл (подробнее см. Операции с файлом) восстановить значения по умолчанию, чтобы сохранить объекты в рабочей области, при этом восстанавливая настройки до значений по умолчанию включая этикетки, линейки и цвета
	Переработка Щелкните, чтобы очистить выбранные объекты.Если ничего не выбрано, будет очищено все рабочее пространство. Или перетащите объекты в корзину, чтобы удалить их.
	Копия Сделайте копию выбранных объектов.

Прочие функции

Множественный выбор

Чтобы выделить дробные части, обведите их рамкой.
Удерживайте нажатой клавишу SHIFT при рисовании прямоугольника выделения, чтобы добавить к предыдущему выделению.

Щелкните кусок дроби, чтобы добавить или удалить его из выбора.

Выбранные фракции можно перемещать, копировать или повторно использовать как группу.

вверху

Сочетания клавиш

В настольной версии этого инструмента реализованы стандартные сочетания клавиш.

Специальные сочетания клавиш для инструмента «Полосы дроби»:

PDF поддерживает

mathies Подсказка к инструменту обучения дробным полоскам

Статьи бюллетеня
Сентябрь 2017 — Представление, сравнение и упорядочение дробей, эквивалентных дробей, сложение и вычитание дробей с помощью инструмента дробных полос
Декабрь 2017 — Умножение и Разделение на дроби с помощью инструмента «Полосы дробей»

Подключение к основам
Основы математики — Пособие для учителя
Соединение фундаментальных математических понятий с математикой.ca (Черновик)

Другие ресурсы
Рассказ о фракционных полосах: размышления учащегося о математических исследованиях (черновик)

Дробные полосы и фракционные башни
(Источник — EduGAINS | Ресурсы, разработанные министерством | Математика | Уроки и вспомогательные средства | Манипуляторы)

Что это такое?
Как они помогают студентам?
Рекомендации по использованию
Примеры действий
Сайты по теме

Посетите EduGAINS для получения дополнительных манипулятивных листов.