Корень 5 степени из 1 32: Mathway | Популярные задачи

                                   2       
          /     _____________     \        
          |    /    /   7/8\      |        
          |  \/  log\4*2   /    1 |        
       -4*|- ---------------- - --|        
          |       ________      10|        
  ___     \     \/ log(2)         /      1 
\/ 8 *2                              >= ---
                                          2
                                        32 

                                     2          
            /          _____________\           
            |         /    /   7/8\ |           
            |  1    \/  log\4*2   / |           
         -4*|- -- - ----------------|  >= 1/1024
            |  10        ________   |           
    ___     \          \/ log(2)    /           
2*\/ 2 *2                                       
          

                                     2         
            /          _____________\          
            |         /    /   7/8\ |          
            |  1    \/  log\4*2   / |          
         -4*|- -- - ----------------|  
 Тогда
$$x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left (4 \cdot 2^{\frac{7}{8}} \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\sqrt{\log{\left (4 \cdot 2^{\frac{7}{8}} \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}} \wedge x \leq \frac{\sqrt{\log{\left (4 \cdot 2^{\frac{7}{8}} \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}}$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Корни и степени.

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Арифметический корень / math5school.ru

Арифметический корень

Свойства корней

Значения некоторых корней n-й степени

Таблица квадратных корней натуральных чисел от 1 до 99

Арифметический корень

Арифметическим корнем  n-й степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число b,  n-я степень которого равна a.

Записывается так: 

Эта запись означает, что bⁿ = a, где b и a – неотрицательные числа.

Число n называется показателем степени корня, число а – подкоренным выражением, b – значением арифметического корня n-й степени. Операция нахождения значения корня называется извлечением корня.

Корней чётной степени из отрицательных чисел не существует.

Корнем нечётной степени из отрицательного числа а называется такое отрицательное число b, которое при его возведении в эту нечётную степень равно числу

Для корней нечётной степени справедливо равенство:

Свойства корней

Для положительных а и b, натуральных n и k (n ≥ 2, k ≥ 2), целого m выполняются следующие соотношения.

Кроме того, для любого числа а верно:

Значения некоторых корней

      Смотрите также:

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Логарифмы 

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность 

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники 

Тела вращения 

Как возвести число к степени в Excel с помощью формулы и оператора

Часто пользователям необходимо возвести число в степень. ».

Мы возвели 8 в «квадрат» (т.е. ко второй степени) и получили в ячейке «А2» результат вычисления.

Вариант №2. С использованием функции

В Microsoft Office Excel есть удобная функция «СТЕПЕНЬ», которую вы можете активизировать для осуществления простых и сложных математических расчетов.

Функция выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число;степень)

ВНИМАНИЕ!

1. Цифры для этой формулы указываются без пробелов и других знаков.
2. Первая цифра – значение «число». Это основание (т.е. цифра, которую мы возводим). Microsoft Office Excel допускает введение любого вещественного числа.
3. Вторая цифра – значение «степень». Это показатель, в который мы возводим первую цифру.
4. Значения обоих параметров могут быть меньше нуля (т.е. со знаком «-»).

Формула возведения в степень в Excel

Примеры использования функции СТЕПЕНЬ().

С использованием мастера функций:

1. Запускаем мастера функций с помощью комбинации горячих клавиш SHIFT+F3 или жмем на кнопку в начале строки формул «fx» (вставить функцию).
   Из выпадающего списка «Категория» выбираем «Математические», а в нижнем поле указываем на нужную нам функцию и жмем ОК.
2. В появившимся диалоговом окне заполняем поля аргументами. К примеру, нам нужно возвести число «2» в степень «3». Тогда в первое поле вводим «2», а во второе — «3».
3. Нажимаем кнопку «ОК» и получаем в ячейке, в которую вводили формулу, необходимое нам значение. Для данной ситуации это «2» в «кубе», т.е. 2*2*2 = 8. Программа подсчитала все верно и выдала вам результат.

Если лишние клики вы считаете сомнительным удовольствием, предлагаем еще один простой вариант.

Ввод функции вручную:

1. В строке формул ставим знак «=» и начинаем вводить название функции. Обычно достаточно написать «сте» — и система сама догадается предложить вам полезную опцию.
2. Как только увидели такую подсказку, сразу жмите на клавишу «Tab». Или можете продолжить писать, вручную вводить каждую букву. Потом в скобках укажите необходимые параметры: два числа через точку с запятой.
3. После этого нажимаете на «Enter» — и в ячейке появляется высчитанное значение 8.

Последовательность действий проста, а результат пользователь получает достаточно быстро. В аргументах вместо чисел могут быть указаны ссылки на ячейки.

Корень в степени в Excel

Чтобы извлечь корень с помощью формул Microsoft Excel, воспользуемся несколько иным, но весьма удобным способом вызова функций:

1. Перейдите по закладке «Формулы». В разделе инструментов «Библиотека функций» щелкаем по инструменту «Математические». А из выпадающего списка указываем на опцию «КОРЕНЬ».
2. Введите аргумент функции по запросу системы. В нашем случае необходимо было найти корень из цифры «25», поэтому вводим его в строку. После введения числа просто нажимаем на кнопку «ОК». В ячейке будет отражена цифра, полученная в результате математического вычисления корня.

ВНИМАНИЕ! Если нам нужно узнать корень в степени в Excel то мы не используем функцию =КОРЕНЬ(). Вспомним теорию из математики:

«Корнем n-ой степени от числа а называется число b, n-ая степень которого равна а», то есть:
ⁿ√a = b; bⁿ = a. (1/n)- где a-число; n-степень:

Или через такую функцию: =СТЕПЕНЬ(32;1/5)

В аргументах формулы и функции можно указывать ссылки на ячейки вместо числа.

Как в Excel написать число в степени?

Часто вам важно, чтобы число в степени корректно отображалось при распечатывании и красиво выглядело в таблице. Как в Excel написать число в степени? Здесь необходимо использовать вкладку «Формат ячеек». В нашем примере мы записали цифру «3» в ячейку «А1», которую нужно представить в -2 степени.

Последовательность действий следующая:

1. Правой кнопкой мыши щелкаем по ячейке с числом и выбираем из выскакивающего меню вкладку «Формат ячеек». Если не получилось – находим вкладку «Формат ячеек» в верхней панели или жмем комбинацию клавиш CTRL+1.
2. В появившемся меню выбираем вкладку «Число» и задаем формат для ячейки «Текстовый». Жмем ОК.
3. В ячейке A1 вводим рядом с числом «3» число «-2» и выделяем его.
4. Снова вызываем формат ячеек (например, комбинацией горячих клавиш CTRL+1) и теперь для нас только доступна вкладка «Шрифт», в которой отмечаем галочкой опцию «надстрочный». И жмем ОК.
5. В результате должно отображаться следующее значение:

Пользоваться возможностями Excel просто и удобно. С ними вы экономите время на осуществлении математических подсчетов и поисках необходимых формул.

Таблица степеней по алгебре

На этой странице размещена таблица степеней от 2 до 10 для натуральных чисел от 1 до 20. Пример использования: находим в таблице число 9 (слева), затем во втором столбике видим квадрат числа, который равен 81. В третьем столбце таблицы значения кубов. Смотрите также: таблица квадратов, таблица корней.

https://uchim.org/matematika/tablica-stepenej — uchim.org

Таблица степеней

Свойства степени — 2 части

Таблица основных степеней по алгебре в компактном виде (картинка, удобно, чтобы распечатать), сверху числа, сбоку степени:

Полную математическую таблицу можно бесплатно скачать, просто сохранив картинку выше с помощью правой кнопки мыши.

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица степеней по алгебре

методы умножения, примеры с объяснением

Известно, что знак корня  является квадратным корнем из некоторого числа. Однако знак корня означает не только алгебраическое действие, но и применяется в деревообрабатывающем производстве — в расчете относительных размеров.

Если вы хотите узнать, как умножить корни «с» или «без» множителей, то эта статья для вас. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:

• без множителей;
• с множителями;
• с разными показателями.

Метод умножения корней без множителей

Алгоритм действий:

Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени). Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2.

Пример 1: 18×2=?

Пример 2: 10×5=?

Пример 3: 33×93=?

Далее необходимо перемножить числа под корнем. 

Пример 1: 18×2=36

Пример 2: 10×5=50

Пример 3: 33×93=273

Упростить подкоренные выражения. Когда мы умножаем корни друг на друга, мы можем упростить полученное подкоренное выражение до произведения числа (или выражения) на полный квадрат или куб:

Пример 1: 36=6. 36 — квадратный корень из шести (6×6=36).

Пример 2: 50=(25×2)=(5×5)×2=52. Число 50 раскладываем на произведение 25 и 2. Корень из 25 — 5, поэтому выносим 5 из-под знака корня и упрощаем выражение.

Пример 3: 273=3. Кубический корень из 27 равен 3: 3×3×3=27.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Метод умножения показателей с множителями

Алгоритм действий:

Умножить множители. Множитель — число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:

Пример 1: 32×10=3?3×1=3

Пример 2: 43×36=12?4×3=12

Умножить числа под знаком корня. Как только вы перемножили множители, смело умножайте числа, стоящие под знаком корня:

Пример 1: 32×10=3(2×10)=320

Пример 2: 43×36=12(3×6)=1218

Упростить подкоренное выражение. Далее следует упростить значения, которые стоят под знаком корня, — требуется вынести соответствующие числа за знак корня. После этого, необходимо перемножить числа и множители, которые стоят перед знаком корня:

Пример 1: 320=3(4×5)=3(2×2)×5=(3×2)5=65

Пример 2: 1218=12(9×2)=12(3×3)×2=(12×3)2=362

Метод умножения корней с разными показателями

Алгоритм действий:

Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей. Наименьшее общее кратное — наименьшее число, делящееся на оба показателя.

Необходимо найти НОК показателей для следующего выражения: 

53×22

Показатели равны 3 и 2. Для этих двух чисел наименьшим общим кратным является число 6 (оно делится без остатка и на 3, и на 2). Для умножения корней необходим показатель 6.

Записать каждое выражение с новым показателем:

56×26

Найти числа, на которые нужно умножить показатели, чтобы получить НОК.

В выражении 53 необходимо умножить 3 на 2, чтобы получить 6. А в выражении 22 — наоборот, необходимо умножить на 3, чтобы получить 6.

Возвести число, которое стоит под знаком корня, в степень равную числу, которое было найдено в предыдущем шаге. Для первого выражения 5 нужно возвести в степень 2, а втором — 2 в степень 3:

2→56=5263→26=236

Возвести в степень выражения и записать результат под знаком корня:

526=(5×5)6=256236=(2×2×2)6=86

Перемножить числа под корнем:

(8×25)6

Записать результат:

(8×25)6=2006

По возможности необходимо упростить выражение, но в данном случае оно не упрощается.

Урок 16. арифметический корень натуральной степени — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.

Перечень тем, рассматриваемых на уроке:

• преобразование и вычисление арифметических корней,
• свойства арифметического корня натуральной степени,
• корень нечетной степени из отрицательного числа,
• какими свойствами обладает арифметический корень натуральной степени.

Глоссарий

1. Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
2. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
3. Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
4. Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
5. Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

1. Сканави М. И., Зайцев В. В., Рыжков В. В. «Элементарная математика». – Книга по требованию, 2012.
2. Семенова А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 3000 задач с ответами, математика под редакцией Москва, 2017.
3. Ященко И. В. ЕГЭ 3300 задач с ответами, математика профильный уровень под редакцией Москва, 2017.

Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»

Решим задачу.

Площадь квадрата S=16 м².

Обозначим сторону квадрата а, м.

Тогда, а² = 16.

Решим данное уравнение:

a=4 и а= –4.

Проверим решение:

4² = 16;

(–4)² = 16.

Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.

Определение:

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.

Определение:

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Обозначение: .

Определение:

Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.

Обозначение: .

Например:

.

.

.

На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени.

Определение:

Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.

Определение:

Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Обозначение: – корень n-й степени, где

n–степень арифметического корня;

а– подкоренное выражение.

Давайте рассмотрим такой пример: .

Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно, .

Еще один пример: .

Мы знаем, что (–3)⁵ = –243, следовательно, .

На основании этих примеров, можно сделать вывод:

, при условии, что n –нечетное число.

Свойства арифметического корня натуральной степени:

Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:

1. .

Примеры:

.

.

1. .

Примеры:

.

.

1. .

Пример:

.

1. .

Пример:

.

1. Для любогоа справедливо равенство:

Пример:

Найдите значение выражения , при 3 <x< 6.

Степени заданных арифметических корней 4 и 2, четные числа, следовательно, мы можем применить свойство №5:

=|x – 3| = х – 3, т.к. х>3;

=|x – 6|=6 – x, т.к. х<6.

Получаем: х – 3 + 6 – х= 3.

Примеры заданий.

Первый пример.

Задача:

Выберите верные утверждения:

Разбор задания.

Применим определение арифметического корня: Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Следовательно, верными могут быть только неотрицательные выражения.

Ответ: ; ;

Второй пример.

Задача:

Выделите самое маленькое число:

Разбор задания:

Корень из отрицательного числа будет отрицательным числом, следовательно, наименьшее число –

Ответ: 4.

Mathway | Популярные задачи

Калькулятор пятого корня — впечатляющий калькулятор пятого корня

Калькулятор пятого корня Онлайн:

воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором пятого корня.

Пример корня пятой степени из x

• Корень 5-й степени из 2 составляет ± 1,148.
• Корень 5-й степени из 10 составляет ± 1,584.
• Корень 5-й степени из 16 равен ± 1,741.
• корень 5-й степени из 32 равен ± 2.

• Корень 5-й степени из 64 составляет ± 2,297.
• 5-й корень из 243 равен ± 3.
• 5-й корень из 1024 равен ± 4.
• 5-й корень из 3125 равен ± 5.

Формула калькулятора пятого корня:

a ⁵ = х.

⁵ √x

Формула пятого корня

Определение пятого корня:

Определение пятого корня :

В математике пятый корень числа x — это число r , которое при возведении в степень 5 дает x:

r ⁵ = x.

Определение Пятого корня

Идеальные пятые корни

 x  5 
 Упростить ——
            2
 

 1 x  5 
  —— - —— = 0
  32 2
 

 1
 Упростить ——
            32
 

 1 x  5 
  —— - —— = 0
  32 2
 

 
 Вычисление наименьшего общего кратного: 
 
 3. 1 Найдите наименьшее общее кратное 
 
 Левый знаменатель: 32 
 
 Правый знаменатель: 2 
 
 
 
 Сколько раз каждый простой множитель 
 появляется при факторизации: 
 
 
 
 Простое 
 Фактор 
 
 Левый 
 Знаменатель 
 
 Правый 
 Знаменатель 
 
 LCM = Макс. 
 {Левый, Правый} 
 
 
 
 2 
 
 5 
 
 1 
 
 5 
 
 
 
 Произведение всех 
000 основных факторов 
 
 32 2 9000 
 
 
 
 
 
 Наименьшее общее кратное: 
 32 
 
 
 Расчет множителей: 
 
 3.2 Вычислить множители для двух дробей 
 
 Обозначить наименьшее общее кратное LCM 
 Обозначить левый множитель Left_M 
 Обозначить правый множитель Right_M 
 Обозначить левый знаменатель L_Deno 
 Обозначить правый множитель R_Deno 
 
 Left_M L_Deno = 1 
 
 Right_M = LCM / R_Deno = 16 
 
 Получение эквивалентных дробей: 
  
 
 3. 3 Перепишите две дроби в эквивалентные дроби 
 
 Две дроби называются эквивалентными, если они имеют одинаковое числовое значение.
 
 Например: 1/2 и 2/4 эквивалентны, y / (y + 1)  2  и (y  2  + y) / (y + 1)  3  также эквивалентны. 
 
 Чтобы вычислить эквивалентную дробь, умножьте числитель каждой дроби на соответствующий ей множитель. 
 
 L. Mult. • L. Num. 1
   знак равно
         L.C.M 32

   R. Mult. • R. Num. x  5  • 16
   знак равно
         L.C.M 32
 
 Сложение дробей с общим знаменателем: 
 
 3.4 Сложение двух эквивалентных дробей 
 Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель 
 
 Объедините числители вместе, сложите сумму или разность над общим знаменателем, затем уменьшите до наименьших членов, если возможно: 
 
 1 - (x  5  • 16) 1 - 16x  5 
 знак равно
      32 32
 
 Калькулятор полиномиальных корней: 
 
 3. 5 Найдите корни (нули): F (x) = -16x  5  + 1 
 Калькулятор полиномиальных корней — это набор методов, направленных на поиск значений x, для которых F (x) = 0 
 
 Rational Roots Test — один из вышеупомянутых инструментов.Он может найти только рациональные корни, то есть числа x, которые можно выразить как частное двух целых чисел 
 
 Теорема рационального корня утверждает, что если полином обнуляется для рационального числа P / Q, то P является множителем конечной константы и Q является множителем ведущего коэффициента 
 
 В этом случае ведущий коэффициент равен 1, а конечная константа — -16. 
 
 Факторы: 
 
 ведущего коэффициента: 1 
 конечной константы: 1, 2, 4, 8, 16 
 
 Давайте проверим…. 
  1 0005000 000 000 000 000 900 00040004 
 
 
 
 
 
 P 
 
 
 
 Q 
 
 
 
 P / Q 
 
 
 
 F (P / Q) 
 
 
 
 Делитель 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-1,00 
 
 
 
 17,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2 
 
 
 
 1 
 
 
 
-2,00 
 
 
 
 513. 00 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4 
 
 
 
 1 
 
 
 
-4.00 
 
 
 
 16385.00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 524289.00 
 
 
 
 
 
 
 
 
-16 
 
 
 
 1 
 
 
 
-16.00 
 
 
 
 16777217.00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 1 
 
 
 
 1.00 
 
 
 
-15.00 
 
 
 
 
 
 
 2,00 
 
 
 
-511,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
 1 
 
 
 
 4.00 
 
 
 
 -16383,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
 1 
 
 
 
 8.00 
 
 
 
-524287.00 
 
000 
-524287.00 
 
0004 
 
 16.00 
 
 
 
-16777215.00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Калькулятор полиномиальных корней не обнаружил рациональных корней 
 
 
 Уравнение в конце шага 3: 
  
 1 - 16x  5 
  ———————— = 0
     32
 
 Шаг 4: 
 
 Когда дробь равна нулю: 
  
 4. 1 Когда дробь равна нулю ... 
 Если дробь равна нулю, ее числитель, часть, которая находится над линией дроби, должен быть равен нулю.
 Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, Тигр умножает обе части уравнения на знаменатель.
 Вот как:
 1-16x  5 
  —————— • 32 = 0 • 32
    32
 
 Теперь, с левой стороны, 32 отменяет знаменатель, в то время как с правой стороны ноль, умноженный на что-либо, по-прежнему равно нулю.
 Уравнение теперь принимает форму: 
 1-16x  5  = 0
  
 Решение уравнения с одной переменной: 
 
 
 4.2 Решите: -16x  5  +1 = 0 
 
 Вычтите 1 из обеих сторон уравнение: 
 -16x  5  = -1 
 Умножьте обе части уравнения на (-1): 16x  5  = 1 
 
 Разделите обе части уравнения на 16: 
 x  5  = 1 / 16 = 0.062 
 x = корень 5-й степени из (1/16) 
 
 Уравнение имеет одно действительное решение 
 Это решение представляет собой x = корень 5-й степени из (0,062) = 0,57435 
 
 Найдено одно решение: 
 x = корень 5-й степени из (0,062) = 0,57435 
 N-й корень — объяснение, символ, метод поиска, свойства и часто задаваемые вопросы 
 
                                         
 В математике корень n-й степени числа x — это число y, которое при возведении в степень n дает x: 
 
 yⁿ = x 
 
 Здесь n — положительное целое число, иногда называемое степенью корня. Корень степени 2 известен как квадратный корень, а корень степени 3 известен как корень кубический. Корни более высокой степени также упоминаются с использованием обычных чисел, таких как корень четвертой степени, корень пятой степени, корень двадцатого и т. Д. Вычисление корня n-й степени является извлечением корня. 
 
 Например, 4 является квадратным корнем из 2, поскольку 22 = 4, а −2 также является квадратным корнем из 4, поскольку (−2) 2 = 4. 
 
 \ [\ sqrt {x} \ times \ sqrt {x} = x \] Здесь квадратный корень используется дважды при умножении, чтобы получить исходное значение.
 
 \ [\ sqrt [3] {x} \ times \ sqrt [3] {x} = x \] Здесь кубический корень используется трижды при умножении для получения исходного значения. 
 
 \ [\ sqrt [n] {x} \ times \ sqrt [n] {x}. . . \ sqrt [n] {x} = x \] Здесь корень n-й степени используется n раз при умножении, чтобы получить исходное значение. 
 
 (Изображение будет скоро загружено) 
 
 Определение N-го корня 
 
 Напомним, что k является квадратным корнем из y тогда и только тогда, когда k² = y. Аналогично, k является кубическим корнем из y тогда и только тогда, когда k³ = y. Например, 5 — это кубический корень из 125, потому что 5³ = 125.Давайте поймем определение корня n-й степени с этим понятием. 
 
 Пусть n будет целым числом больше 1, тогда y будет корнем n-й степени из x тогда и только тогда, когда yⁿ = x. 
 
 Например, -1/2 — это корень 5-й степени из -1/32, так как (-1/2) ⁵ = -1/32. Корню n-й степени не дано никаких специальных имен, кроме квадратного корня (где n = 2) и кубического корня (где n = 3). Другие корни n-й степени известны как корень четвертой, пятый и т. Д. 
 
 Символ корня n-й степени 
 
 Символ, используемый для представления корня n-й степени, — \ [\ sqrt [n] {x} \].Это радикальный символ, используемый для извлечения квадратного корня с небольшим числом n для определения корня n-й степени. 
 
 В выражении \ [\ sqrt [n] {x} \] n называется индексом, а x известен как подкоренное выражение. 
 
 Как найти корень N числа? 
 
 Корень n-й степени числа можно вычислить с помощью метода Ньютона. Давайте разберемся, как найти корень n-й степени числа «A» с помощью метода Ньютона. 
 
 Начните с первоначального предположения x  0 , а затем повторите, используя рекуррентное соотношение.{n-1}} \]. 
 
 Например, чтобы найти корень четвертой степени из 16, обратите внимание, что 2⁴ = 16 и, следовательно, x = 2, n = 4 и y = 2 в приведенной выше формуле. Это дает: 
 
 \ [\ sqrt [5] {34} = \ sqrt [5] {32 + 2} \ приблизительно 2 + \ frac {2} {5.16} = 2.025 \]. Погрешность аппроксимации составляет всего около 0,03%. 
 
 Когда существует N-й корень? 
 
 В действительной системе счисления: 
 
 Если n — четное целое число, корень n-й степени из x существует всякий раз, когда x положителен, и для всех x. 
 
 Если n — нечетное целое число, корень n-й степени из x существует для всех x. {x / y} \] 
 
 
 
 В каждом положительном действительном числе есть ровно один положительный корень n-й степени.{2} = -1 \] 
 
 
 
 Как правило, \ [\ sqrt [n] {x} \ sqrt [n] {y} = \ sqrt [n] {xy} \], строго для не- только отрицательные действительные подкоренные выражения, его использование приводит к неравенству на шаге 1 выше. 
 
 
 
 Факты, которые нужно запомнить 
 
 
 
 Корень n-й степени из 0 равен 0 для всех натуральных чисел n, так как 0  n  равен 0. 
 
 
 
 Корень n-й степени из 1 известен как корень единицы и играет важную роль в различных областях математики, таких как теория чисел, теория уравнений и т. д.{6}} \] 
 
 Шаг 4: 2xy  2  
  
 Таблица пятого корня и пятой степени 
 









 
 Интерактивная таблица чисел корня и экспоненты. 


 
 1 1 1 4 000 0003 .7411 4 000 0003 0003 0003 .9332 4 0003 4 000 000 000 .1779 4 000 0003 0008 .2679 4 00050003 0003 0003 0003 3456 4 0003 4 .4141 4 .4757 4 000 000 000 000 0003 
 
 
 
 Найдите корень 5  th  для … 
 
 Корень 5  th  
 
 
 
 
 
 1 
 
 1.0000 
 
 
 
 2 
 
 1.1487 
  
 1.1487 
  
 1.1487 
  
 
 
 4 
 
 1,3195 
 
 
 
 5 
 
 1.3797 
 
 
 
 6 
 
 1.4310 
 
 
 
 7 
 
 1.4758 
 
 
 
 8 
 
 1.5157 
 
 
 
 9 
 
 1.5518 
 
 
 
 
 12 
 
 1,6438 
 
 
 
 13 
 
 1,6703 
 
 
 
 14 
 
 1,6952 
 
 
 
 15 
 
 1,7188 
 
 
 
 16 
 
 
 
 17 
 
 1.7623 
 
 
 
 18 
 
 1.7826 
 
 
 
 19 
 
 1.8020 
 
 
 
 20 
 
 1.8206 
 
 
 
 23 
 
 1.8722 
 
 
 
 24 
 
 1.8882 
 
 
 
 25 
 
 1.9037 
 
 
 
 26 
 
 1.9186 
 
 
 
 27 
 
 
 
 28 
 
 1.9473 
 
 
 
 29 
 
 1.9610 
 
 
 
 30 
 
 1.9744 
 
 
 
 31 
 
 1.9873 
 
 
 
 34 
 
 2.0244 
 
 
 
 35 
 
 2.0362 
 
 
 
 36 
 
 2.0477 
 
 
 
 37 
 
 2.0589 
 
 
 
 38 20005.0699 
 
 
 
 39 
 
 2.0807 
 
 
 
 40 
 
 2.0913 
 
 
 
 41 
 
 2.1016 
 
 
 
 42 
 
 2.1118 
 
 
 
 
 
 
 45 
 
 2,1411 
 
 
 
 46 
 
 2,1506 
 
 
 
 47 
 
 2,1598 
 
 
 
 48 
 
 2,1689 
 
 
 
 49 
 
 
 
 50 
 
 2,1867 
 
 
 
 51 
 
 2,1954 
 
 
 
 52 
 
 2,2039 
 
 
 
 53 
 
 2,2124 
 
 
 
 56 
 
 2,2369 
 
 
 
 57 
 
 2,2448 
 
 
 
 58 
 
 2,2526 
 
 
 
 59 
 
 2,2603 
 
 
 
 60 
 
 
 
 61 
 
 2.2754 
 
 
 
 62 
 
 2.2829 
 
 
 
 63 
 
 2.2902 
 
 
 
 64 
 
 2.2974 
 
 
 
 67 
 
 2.3185 
 
 
 
 68 
 
 2.3254 
 
 
 
 69 
 
 2.3322 
 
 
 
 70 
 
 2.3389 
 
 
 
 71 
 
 
 
 72 
 
 2.3522 
 
 
 
 73 
 
 2.3587 
 
 
 
 74 
 
 2.3651 
 
 
 
 75 
 
 2.3714 
 
     
 
 78 
 
 2.3901 
 
 
 
 79 
 
 2.3962 
 
 
 
 80 
 
 2.4022 
 
 
 
 81 
 
 2.4082 
 
 
 
 82 2 
 
 
 
 83 
 
 2.4200 
 
 
 
 84 
 
 2.4258 
 
 
 
 85 
 
 2.4316 
 
 
 
 86 
 
 2.4372 
 
   
 
 89 
 
 2.4540 
 
 
 
 90 
 
 2.4595 
 
 
 
 91 
 
 2.4650 
 
 
 
 92 
 
 2.4703 
 
 
 
 93 
 
 
 
 94 
 
 2.4810 
 
 
 
 95 
 
 2.4862 
 
 
 
 96 
 
 2.4915 
 
 
 
 97 
 
 2.4966 
 
 
 
 100 
 
 2,5119 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Найдите показатель 5 из … 
 
 Показатель 5 
 
 
 
 
 
 1 
 
 1 
 
 
  
0 4 000 0003 
45000 
14 
000 000 
450009 
 900 04 31 0003 0003 0003 68 620 000 0004 147008443 0 0 0 000 0003 000 000 9 000 000 000 000 000 000 000 0003 000 000 00030000000003 7500000000030009000000000000000 49842092070003 = 7200003 =033 = 9100 = 0,09 
 Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 8
 .
Leave a Reply Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя * 
Email * 
Сайт 
  
 3 
 
 243 
 
 
 
 4 
 
 1024 
 
 
 
 5 
 
 3125 
 
 
 
 6 
 
 7776 
 
 
 
 7 
 
 16807 9000
  
 9117 
  
 59049 
 
 
 
 10 
 
 100000 
 
 
 
 11 
 
 1 61051 
 
 
 
 12 
 
 248832 
 
 
 
 13 
 
 371293 
 
 
 
 14 
 
 537824 
 
 
 
 15 
 
 759375 
 
 
 
 18 
 
 1889568 
 
 
 
 19 
 
 2476099 
 
 
 
 20 
 
 3200000 
 
 
 
 21 
 
 4084101 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 24 
 
 7962624 
 
 
 
 25 
 
 9765625 
 
 
 
 26 
 
 11881376 
 
 
 
 27 
 
 14348907 
 
 
  
  
 24300000 
 
 
 
 28629151 
 
 
 
 32 
 
 33554432 
 
 
 
 33 
 
 393 
 
 
 
 34 
 
 45435424 
 
 
 
 
 
 
 
 6
57 
 
 
 
 38 
 
 7
 
 
 
 39 
 
 
199 
 
 
 
 40 
 
 102400000 
 
 
 
 41 
 
 
 
 41 
15000 
 
 
 
 
 44 
 
 164
4 
 
 
 
 45 
 
 184528125 
 
 
 
 46 
 
 205962976 
 
 
 
 47 
 
 
 
 
 
 47 
 
 22
 
 47 
 
 22
 
 47 
 
 22
 
 
 50 
 
 312500000 
 
 
 
 51 
 
 345025251 
 
 
 
 52 
 
 380204032 
 
 
 
 53 
 
 418195493 
 
 
 
 54 
 54 
 
 
 
 54 
 
 550731776 
 
 
 
 57 
 
 6016
  
 
 
 58 
 
 656356768 
 
 
 
 59 
 
 714
 
 
 
 60 
000 
 
 60 
000 
000 
  
 
 
 63 
 
 9
543 
 
 
 
 64 
 
 1073741824 
 
 
 
 65 
 
 11602
 
 
 
 
 66 
 
 1252332576 
 
 1252332576 
 
 69 
 
 1564031349 
 
 
 
 70 
 
 1680700000 
 
 
 
 71 
 
 1804229351 
 
 
 
 72 
 
 19342
 2373046875
 76
 2535525376
 77
 2706784157
 78
 2887174368
 7
 7
 3486784401
 82
 3707398432
 83
 393
43
 84
 4182119424
 44
 88
 5277319168
 89
 5584059449
 90
 59040232000000000000000000000000000000
 91
 6240321451
 92
 65
 93
 6956883693
 94
 733
24
 95
 7737809375
 96
 8153726976
 97
 8587340257
 100
 10000000000
 Генератор корня и экспонент 
 
 Что такое корень 5 
 th ?
 Корень 5-й степени числа — это число, которое нужно умножить само на себя 5 раз, чтобы получить исходное число.
 Что такое показатель степени 5? 
 Показатель 5 числа находится путем умножения этого числа на само себя 5 раз.
 квадратный корень из 32 — Как найти квадратный корень из 32? 
 Прежде чем мы начнем, давайте разберемся в значении квадратного корня. Символ квадратного корня записывается как √ и является неотъемлемой частью математики. Как только вы поймете основы нахождения квадратного корня из числа, вы сможете решить любую проблему, связанную с квадратным корнем. В этом коротком уроке мы узнаем о квадратном корне из 32.32 не является точным квадратным числом. Следовательно, квадратный корень из 32 — иррациональное число. Мы будем использовать такие методы, как разложение на простые множители и деление, и узнаем, как найти квадратный корень из 32. Мы также сосредоточимся на некоторых решенных примерах, основанных на квадратном корне из 32 
 Давайте посмотрим, что такое квадратный корень из 32:
  Квадратный корень из 32: √32  = 5,65685424 …
  Квадрат 32: 32²  = 1024
 Что такое квадратный корень из 32? 
 Квадратный корень любого числа x можно записать как √x.Пусть существует такое число a, что x = a × a. Теперь это можно также записать как: a² = x или a = √x. Следовательно, a называется вторым корнем x.
 Теперь, если x = 32, то a = √32 является квадратным корнем из 32. В простейшей радикальной форме √32 = √ (16 × 2) = 4√2
 Десятичная форма √32 = 5,657
 Является ли квадратный корень из 32 рациональным или иррациональным? 
 Квадратный корень из 32 — это иррациональное число с бесконечными цифрами. 
 √32 = 5,65685424… 
 Квадратный корень из 60 нельзя записать в виде p / q, следовательно, это иррациональное число.
 Как найти квадратный корень из 32? 
 Есть два основных метода, которые мы используем, чтобы найти квадратный корень 32-
.
  Прайм-факторизация 
  Длинное деление 
 Есть и другие методы, о которых можно узнать больше, нажав здесь
 Основная факторизация 
 Чтобы найти квадратный корень из 32, мы сначала выразим его через простые множители. 
 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2.
 Далее это можно уменьшить до 
 32 = 16 × 2
 Наконец, отсюда очень легко найти корень этого, 
 √32 = √ (16 × 2) 
 √32 = 4√2 
 = 4 × 1,414 
 = 5,656
 Следовательно,  квадратный корень из 3 равен 5,656 
 Длинный дивизион 
 Шаг 1. Поместите черту над 32. Мы также объединяем десятичные нули в пары по 2 слева направо.
 Шаг 2: Найдите такое число, что при умножении его на само полученное значение будет меньше или равно 32.
 Мы знаем, что 5 × 5 равно 25 и меньше 32. Теперь давайте разделим 32 на 5
 Шаг 3: Давайте поместим десятичную точку и пары нулей и продолжим наше деление. 
 Теперь сложите делитель 5 с самим собой, и сумма станет начальной цифрой нашего следующего делителя.
 Шаг 4: Выберите число на месте единицы для нового делителя так, чтобы его произведение с тем же числом было меньше или равно 700. 
 Если поставить 6 вместо единицы, то получится меньше 700.Получаем 106 × 6 = 636.
 Продолжаем делать те же шаги, пока не получим требуемое количество десятичных знаков.
 Итак, наше длинное деление теперь выглядит так:
  Изучите квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров 
 Квадратный корень из 32 ≈ 5,656
 Квадратный корень из 32 в простейшей радикальной форме равен 4√2
 √32 иррационально. Его настоящие корни: +5,656 и -5,656
.
 Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 32 
 Что такое квадратный корень из 32? 
 Квадратный корень из 32 равен √32 = 5.656
 Что такое квадрат 32? 
 Квадрат 32 равен 32² = 1024
 Что такое упрощенный квадратный корень из 32? 
 Квадратный корень из 32 в упрощенном виде равен 4√2.
 Является ли квадратный корень из 32 рациональным числом? 
 Квадратный корень из 32 — это иррациональное число, так как оно не завершается. Его нельзя выразить в форме p / q, что и составляет рациональное число.
 Какова экспоненциальная форма корня 32? 
 Показатель степени, если корень 32 равен 32  1/2 .
 Mathematics_ _solutions for Class 8 Math Глава 3 
 Страница № 15: 
 Вопрос 1: 
 Выразите следующие числа в виде индекса. 
 (1) Пятый корень из 13 
 (2) Шестой корень из 9 
 (3) Квадратный корень из 256 
 (4) Кубический корень из 17 
 (5) Восьмой корень из 100 
 (6) Седьмой корень из 30
 Ответ: 
 Известно, что
  n   th  корень  a  выражается как  a   1/ n  .
 (1) Пятый корень из 13
 = (13)  1/5 
 (2) Шестой корень из 9
 = (9)  1/6 
 (3) Квадратный корень из 256
 = (256)  1/2 
 (4) Кубический корень из 17
 = (17)  1/3 
 (5) Корень восьмой из 100
 = (100)  1/8 
 (6) Корень седьмой из 30
 = (30)  1/7 
 Страница № 15: 
 Вопрос 2: 
 Запишите в форме «корень n  th  из a» в каждом из следующих чисел.
 (1) 8114
 (2) 4912
 (3) 1515
 (4) 51219
 (5) 100119
 (6) 617
 Ответ: 
 Известно, что
  n   th  корень  a  выражается как  a   1/ n  . 
 1 8114 
 = корень четвертой степени из 81 
 2 4912 
 = корень квадратный из 49 
 3 1515 
 = корень пятой степени из 15 
 4 51219 
 = корень девятой степени из 512 
 5 100119 
 = корень девятнадцатой степени из 100 
 6 617 
 = Корень седьмой из 6
 Страница № 16: 
 Вопрос 1: 
 Заполните следующую таблицу.
 Старший №
 Номер
 Мощность рута
 Корень силы
 (1)
 22532
 Куб квадратного корня из 225
 Корень квадратный из куба 225
 (2)
 4545
 (3)
 8167
 (4)
 100410
 (5)
 2137
 Ответ: 
 Sr.№
 Номер
 Мощность рута
 Корень силы
 (1)
 22532
 куб квадратного корня из 225
 квадратный корень из куба 225
 (2)
 4545
 4  th  степень 5  th  корень 45
 5  th  корень 4  th  степень 45
 (3)
 8167
 6  th  степень 7  th  корень 81
 7  th  корень 6  th  степень 81
 (4)
 100410
 4  th  степень 10  th  корень 100
 10  th  корень 4  th  степень 100
 (5)
 2137
 куб из 7  th  корень 21
 7  th  корень из куба 21
 Страница № 16: 
 Вопрос 2: 
 Запишите следующие числа в виде рациональных индексов.
 (1) Корень квадратный из 5-й степени из 121 
 (2) Куб из корня 4-й степени из 324 
 (3) Корень 5-й степени из квадрата 264 
 (4) Кубический корень из 3
 Ответ: 
 Известно, что,
  a    m / n   = ( a  m  )  1/ n   означает ‘ n   th
48 корень  m th  мощность  а  ‘.
  a    m / n   = ( a   1/ n  )   m   означает  m   th  power  n 9095  а  ‘.
 (1) Квадратный корень из 5  th  степень 121 
 = 121512 = 12152 
 (2) Куб из 4  th  корень из 324 
 = 324143 = 32434 
 (3) 5  th  корень из квадрата 264 
 = 264215 = 26425 
 (4) Куб кубического корня из 3 
 = 3133 = 333
 Страница № 18: 
 Вопрос 1: 
 Найдите кубические корни следующих чисел. 
 (1) 8000 
 (2) 729 
 (3) 343 
 (4) −512 
 (5) −2744 
 (6) 32768
 Ответ: 
 (1) Чтобы найти кубический корень из 8000, сначала разложим 8000 на множители.
 8000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 58000 = 4 × 4 × 4 × 5 × 5 × 5 = 43 × 53 = 4 × 53 am × bm = a × bm 8000 = 203∴ 80003 = 20 
 (2) Чтобы найти кубический корень из 729, сначала разложим 729 на множители. 
 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 × 33 = 93∴7293 = 9 
 (3) Чтобы найти кубический корень из 343, давайте сначала разложите 343 на множители. 
 343 = 7 × 7 × 7 = 73∴3433 = 7 
 (4) Чтобы найти кубический корень из −512, сначала разложим 512 на множители. 
 512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 25 12 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 8 × 8 × 8 × = 83-512 = -8 × -8 × -8 = -83∴-5123 = -8 
 (5) Чтобы найти кубический корень из −2744, сначала разложим на множители 2744.
 2744 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 72744 = 2 × 7 × 2 × 7 × 2 × 7 = 2 × 73 = 143-2744 = -143∴-27443 = -14 
 (6) Чтобы найти кубический корень из 32768, сначала разложим 32768 на множители. 
 32768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 232768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 × 32 × 32 = 323∴327683 = 32
 Страница № 18: 
 Вопрос 2: 
 Упростить: 
 (1) 271253
 (2) 16543
 Ответ: 
 
 1 271253 = 3 × 3 × 35 × 5 × 53 = 33533 = 3533 ambm = abm = 35 
 2 16543 = 2 × 2 × 2 × 22 × 3 × 3 × 33 = 2 × 2 × 23 × 3 × 33 = 23333 = 2333 амбм = абм = 23
 Страница № 18: 
 Вопрос 3: 
 Если 7293 = 9, то 0.0007293 =?
 Ответ: 
 Принято, что 
 7293 = 90,0007293 = 72