ΠžΡ‚ минус 1 Π΄ΠΎ плюс 6: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ЧисСл с Π Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π—Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ

ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ?

ПомоТСм ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŽΠ±ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ

ΠΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ

БСгодня ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ о возрастании ΠΈΒ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠšΠ°ΠΊΒ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, эта Ρ‚Π΅ΠΌΠ° достаточно Π²Π°ΠΆΠ½Π°, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ что встрСчаСтся Π½Π°Β Π•Π“Π­, Π²ΠΎΒ Π²ΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… экзамСнах. А СщС Π΅Π΅Β ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°Β ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ… в школС. БлоТная Π»ΠΈ ΠΎΠ½Π°? И да, ΠΈΒ Π½Π΅Ρ‚. ΠœΡ‹ Π±Ρ‹ сказали, Ρ‡Ρ‚ΠΎΒ ΠΎΠ½Π° нС трудная, а скорСС комплСксная — Π²Β Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ нюансов ΠΈΒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ тянутся ΠΊΒ Π½Π΅ΠΉ ΡΒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹. Но нС Π±Π΅ΡΠΏΠΎΠΊΠΎΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ, сСгодня ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ во всСм разбСрСмся!

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ функция

Как ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ с самого Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°: с опрСдСлСния слова «функция».

Ѐункция β€” это взаимосвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ.

Под Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ описываСт Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρƒ ΠΎΡ‚ Ρ…). Если ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅ΠΌ:

  • ΠΊΠ°ΠΊ измСнится ΠΎΠ΄Π½Π° пСрСмСнная, Ссли другая увСличится;

  • Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ с Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ, Ссли ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ;

  • Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, Ссли ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ эту Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ графичСски.

Π‘ΠΏΠΎΠΉΠ»Π΅Ρ€: Ссли ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ систСмС, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ! Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚.

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅:

функция β€” это зависимая пСрСмСнная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° (Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ Ρƒ), Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ β€” нСзависимая пСрСмСнная (Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ Ρ…).

РСши Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠΊΡƒ ΠΏΠΎΒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π°Β 5.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ в самой слоТной Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅.

ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’ исслСдовании Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ особоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π΅Π΅ повСдСнию Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ β€” монотонности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ постоянными.

ΠœΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Π°Ρ функция β€” функция, которая возрастаСт ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° всСм ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ области опрСдСлСния.

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, Ссли Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ области своСго опрСдСлСния ΠΎΠ½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ возрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ функция, ΠΊΠ°ΠΊ ясно ΠΈΠ· названия, постоянна Π½Π° всСм ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ ΠΈ прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ оси x.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°: ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Ѐункция называСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° увСличиваСтся ΠΈ сама функция.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‰Π΅ говоря, здСсь Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Β«Ρ‡Π΅ΠΌ большС, Ρ‚Π΅ΠΌ большС»: Ρ‡Π΅ΠΌ большС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ…, Ρ‚Π΅ΠΌ большС ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ.

Ѐункция считаСтся ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° функция ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ: Ρ‡Π΅ΠΌ большС Ρ…, Ρ‚Π΅ΠΌ мСньшС Ρƒ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция возрастаСт ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²ΠΎ всСм наглядно.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ функция y = 2x + 3.

1) НайдСм ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Ρ… ∈ R.

2) НайдСм ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚.

Ρ…

0

1

2

3

Ρƒ

3

6

7

9

Как Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, значСния Ρ… ΠΈ Ρƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ β€” функция возрастаСт Π½Π° всСм ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ функция y = 1/2Ρ….

1) НайдСм ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Ρ… β‰  0.

2) НайдСм ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚.

Ρ…

1

2

3

4

Ρƒ

Β½

ΒΌ

β…™

β…›

Ρ…

-1

-2

-3

-4

Ρƒ

-Β½

-ΒΌ

-β…™

-β…›

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ… β‰  0. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…βˆˆ (– ∞ ;0) βˆͺ (0; + ∞). ΠŸΠΎΠ΄Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠΌ эту ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ нСбольшой схСмой.

ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅

ΠœΡ‹ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ»ΠΈ с Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ функциями β€” эх, Ссли Π±Ρ‹ всС Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ просто! Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нас, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ Π²ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ вопросы:

  • Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ?

  • Π§Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли просят ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ Π½Π° числовом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅?

  • Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±Π΅Π· построСния?

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ! Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅:

  • ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ… ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

  • ΠŸΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния Ρƒ.

  • Если ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ… увСличиваСтся ΠΈ Ρƒ β€” это ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  • Если Ρƒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ… β€” это ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Достаточно просто, ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°? πŸ™‚

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ y = 4x – 6 ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΅Π΅ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [0;2]. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ числа ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° вмСсто Ρ… Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ:

Ρƒ(0) = –6
Ρƒ(1) = -2
Ρƒ(2) = 2

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ возрастании Ρ… возрастаСт ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ, Ρ‚. Π΅. Π½Π° этом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ функция возрастаСт.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума, экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

НС ΠΏΡƒΠ³Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ этих ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½Ρ‹Ρ… слов! БСйчас Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ β€” это ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ каТСтся.

ЭкстрС́мум (Π»Π°Ρ‚. extremum β€” ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΉ) Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” максимальноС ΠΈΠ»ΠΈ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ мноТСствС.

На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ y min β€” минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° β€” это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ функция минимальна.

На Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ y ΠΌΠ°Ρ… β€” максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума β€” это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ функция максимальна.

Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΈ максимума Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ экстрСмума, Π° значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ экстрСмума β€” экстрСмумами Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… экстрСмума функция мСняСт свой Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° рисунок Π½ΠΈΠΆΠ΅: функция ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ возрастала Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума, Π½ΠΎ послС Π½Π΅Π΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ. И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, послС прохоТдСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° функция снова Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ интСрСсно: наибольшСС/наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ β€” это Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ: ΠΊ соТалСнию, Π½Π΅Ρ‚. Π­Ρ‚ΠΈ значСния ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΠΎ часто ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

ДостаточныС условия возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ новости: Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ°Ρ ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ. НачнСм с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ: Ссли ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ достаточныС условия возрастания/убывания, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ монотонности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. И для этого Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ придСтся ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ! Но здСсь Π½Π°ΠΌ пригодится производная.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ говоря, производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ быстро увСличиваСтся функция ΠΏΡ€ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΌ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ….

К соТалСнию, Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Как это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» диффСрСнцирования, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Π»ΠΈ Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Β«Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉΒ». Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ!

ДостаточныС ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅:

  • Ссли производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° для любого x ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, Ρ‚ΠΎ функция возрастаСт Π½Π° этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅;

  • Ссли производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x) ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° для любого x ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, Ρ‚ΠΎ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.

Боставим Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ дСйствий, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

  1. НайдСм ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  2. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  3. РСшим нСравСнства Ζ’`(x) > 0 ΠΈ Ζ’`(x) < 0 Π½Π° области опрСдСлСния.

  4. К ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°ΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π°.

  5. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ достаточныС ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, подставив значСния ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ².

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3

Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = Ρ…2 + 5Ρ… + 6

РСшСниС

  1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Ρ… ∈ R

  2. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y’ = 2Ρ… + 5

  3. РСшим нСравСнство: 2Ρ… + 5 > 0

    2Ρ…+5 >0
    2x>-5
    x> –2,5
  4. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ числовой прямой.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…βˆˆ (– ∞; –2,5], возрастаСт ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…βˆˆ [–2,5; +∞)

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = Ρ…3 – 18Ρ….

РСшСниС

  1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Ρ… ∈ R.

  2. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y’ = 3x2 + (–18).

  3. РСшим нСравСнство:

    3x2 + (–18) > 0
    3 (x2–9) > 0
    3(x – 3)(x + 3) > 0
  4. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ числовой прямой. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅, подставим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· этого ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…βˆˆ [–3;3], возрастаСт ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…βˆˆ (β€“βˆž;β€”3] βˆͺ [3; +∞).

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ достаточноС условиС экстрСмума

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = f(x) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ условия:

  1. Ѐункция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π² окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x0 (Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°).

  2. Ζ’β€²(x0) = 0 ΠΈΠ»ΠΈ Ζ’β€²(x0) Π½Π΅ сущСствуСт;

  3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ζ’β€²(x) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x0 мСняСт свой Π·Π½Π°ΠΊ.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = x0 функция y = f(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ экстрСмум, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ это ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ссли ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x0 производная мСняСт свой Π·Π½Π°ΠΊ с минуса Π½Π° плюс; максимум, Ссли ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x0 производная мСняСт свой Π·Π½Π°ΠΊ с плюса Π½Π° минус.

Если производная Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0 Π½Π΅ мСняСт свой Π·Π½Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ‚ экстрСмума.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 1 ΠΈ 4 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 3 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 2 экстрСмума Π½Π΅Ρ‚.

Алгоритм для нахоТдСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ разбСрСмся, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Для этого ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ этим шагам:

  1. НайдСм ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  2. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° этой области.

  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ функция Π½Π΅ сущСствуСт.

  4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ….

  5. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ функция мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ.

  6. НайдСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°/максимума ΠΈ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 5

НайдитС экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = –x2 + 8x – 7.

РСшСниС

  1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Ρ… ∈ R.

  2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y’ = –2x + 8

  3. РСшим нСравСнство:

    –2x + 8 > 0
    –2x > –8
    x < 4
  4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° числовой прямой. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ подставим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· этого ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ… = 4 функция мСняСт свой Π·Π½Π°ΠΊ с Β«+Β» Π½Π° «–», Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ… = 4 β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρƒ(4) = 9 β€” экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 6

НайдитС экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = β…“ x3 + 2x2 – 12x + 6.

РСшСниС

  1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Ρ… ∈ R.

  2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y’ = x2 + 4x – 12.

  3. РСшим нСравСнство:

    x2 + 4x – 12 > 0
    (x – 2)(x + 6) > 0
  4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° числовой прямой. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ подставим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· этого ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π’Π°ΠΊ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (β€“βˆž; –6) ΠΈ (2; +∞) производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° β€” Π½Π° Π½ΠΈΡ… функция возрастаСт. На ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (–6;2) производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° β€” функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x = 2 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Ρƒ(2) = –7 β…“ β€” экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ; Ρ… = –6 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума, Ρƒ(–6) = 78 β€” экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² для Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимум ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ:

  • Когда функция возрастаСт, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Ρ‚ΠΎ поднимались Π½Π° Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ Π³ΠΎΡ€Ρ‹ β€” Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, посСтили Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума.

  • Когда функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ возрастаСт, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Ρ‚ΠΎ ΡΠΏΡƒΡΠΊΠ°Π»ΠΈΡΡŒ Π² ΠΎΠ²Ρ€Π°Π³ ΠΈ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ β€” Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ достаточноС условиС экстрСмума

x0 β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), Ссли вторая производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ (f »(x) β‰  0). ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ, Ссли вторая производная большС нуля (f »(x) > 0), Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Π° Ссли вторая производная мСньшС нуля (f »(x) < 0), Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума.

Рассмотрим это условиС экстрСмума Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ 6 β€” Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = β…“ x3 + 2x2 – 12x + 6:

  1. Π•Π΅ пСрвая производная Ρ€Π°Π²Π½Π° y’= x2 + 4x – 12.

  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ β€” Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ производная обращаСтся Π² ноль: x2 + 4x – 12 = 0 ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 2 ΠΈ Ρ… = –6.

  3. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y’’= 2Ρ… + 4.

  4. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ значСния Ρ… = 2 ΠΈ Ρ… = –6 Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимумом ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ:

    y’’(2) = 8, y’’ > 0, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ… = 2 являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°,
    y’’(–6) = –8, y’’ < 0, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ… = –6 являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимум.

Π’ этом условии Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… замСчания:

  1. Если Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0 ΠΈ пСрвая, ΠΈ вторая ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ноль, Ρ‚ΠΎ Π² этом случаС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ достаточным ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡƒ нСльзя ΡΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ отсутствии экстрСмумов.

  2. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ достаточный ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ нСльзя ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² стационарной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (Π½ΡƒΠ»Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ) пСрвая производная Π½Π΅ сущСствуСт. Π’Π΅Π΄ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ сущСствуСт ΠΈ вторая производная.

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ достаточноС условиС экстрСмума

Π­Ρ‚ΠΎ условиС Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² школьной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ большого количСства вычислСний ΠΈ логичСских Ρ€Π°Π·ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠœΡ‹ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠΌ вас с Π½ΠΈΠΌ β€” Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²Π°ΠΌ захочСтся ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ это усaΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Π±Π»Π΅ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ знаниями ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆ, ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π°!

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция y=f(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎ n-ΠΎΠ³ΠΎ порядка Π² Ξ΅-окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x0 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎ n+1-Π³ΠΎ порядка Π² самой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ζ’β€²(x0) = Ζ’n(x0) = Ζ’m(x0) = … = Ζ’(n)(x0) = 0 ΠΈ Ζ’(n+1)(x0) β‰  0.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°,

  • Ссли n – Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ x0 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°;

  • Ссли n – Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ x0 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° экстрСмума, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ

    • Ссли Ζ’(n+1)(x0) > 0, Ρ‚ΠΎ x0 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°;

    • Ссли Ζ’(n+1)(x0) < 0, Ρ‚ΠΎ x0 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума.

Π”ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ, Π²Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ° «ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ» достаточно интСрСсна. Π’ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя, ΠΎΠ½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ умСния ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ числовым прямым. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ практичСский ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° курсах ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² школС Skysmart! Π’Π°ΠΌ ΠΌΡ‹ смоТСм Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ знания, ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΊ ΠžΠ“Π­! Π—Π°ΠΈΠ½Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΆΠ΄Π΅ΠΌ вас Π½Π° занятиях!

Π¨ΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠΈ для родитСлСй ΠΏΠΎΒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

ВсС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Β Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ

Π”Π°Ρ€ΡŒΡ Π’ΠΈΡˆΠ½ΡΠΊΠΎΠ²Π°

К ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл на простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

К ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅

ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ»Π°Π½ обучСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΒ ΠΏΠΎΠ»ΡŽΠ±ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ

На вводном ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ с мСтодистом

  1. Выявим ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»Ρ‹ в знаниях ΠΈΒ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ совСты ΠΏΠΎΒ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ

  2. РасскаТСм, как проходят занятия

  3. ΠŸΠΎΠ΄Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ курс

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ β€” ΠΎΠ΄Π½Π° из слоТных Ρ‚Π΅ΠΌ в школьной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅. НС каТдый выпускник ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ на вопрос, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная.

В этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ просто и понятно рассказано ΠΎΒ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная и для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π½ΡƒΠΆΠ½Π°. ΠœΡ‹Β Π½Π΅Β Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ сСйчас ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ к матСматичСской строгости излоТСния. Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅Β β€” ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ смысл.

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°ΡΒ β€” это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

На рисункС — Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Как Π²Ρ‹Β Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, какая ΠΈΠ·Β Π½ΠΈΡ… быстрСС растСт?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½Β β€” Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡ. Π£Β Π½Π΅Π΅ самая большая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния, Ρ‚ΠΎΒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ самая большая производная.

Π’ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

ΠšΠΎΡΡ‚Ρ, Π“Ρ€ΠΈΡˆΠ° ΠΈΒ ΠœΠ°Ρ‚Π²Π΅ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡƒΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π°Β Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ мСнялся ΠΈΡ…Β Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ Π²Β Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΎΠ΄Π°:

На графикС сразу всС Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π½Π΅Β ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°Β Π»ΠΈ? Π”ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ ΠšΠΎΡΡ‚ΠΈ Π·Π°Β ΠΏΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΄Π° вырос большС Ρ‡Π΅ΠΌ Π²Β Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π°. Π˜Β ΡƒΒ Π“Ρ€ΠΈΡˆΠΈ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ вырос, но совсСм Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ-Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ. А доход ΠœΠ°Ρ‚Π²Π΅Ρ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΠ»ΡΡ до нуля. Π‘Ρ‚Π°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ условия ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅, Π°Β ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎΒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ производная,Β β€” разная. Π§Ρ‚ΠΎ касаСтся ΠœΠ°Ρ‚Π²Π΅ΡΒ β€” ΡƒΒ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄Π° производная Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ – это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π˜Π½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΌΡ‹Β Π±Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Но как ТС это Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ?

На самом Π΄Π΅Π»Π΅ мы смотрим, насколько ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… (ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами — насколько быстро мСняСтся у с измСнСниСм х. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΒ Ρ‚Π°Β ΠΆΠ΅ функция Π²Β Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΒ β€” Ρ‚ΠΎΒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ быстрСС ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π΅Π΅.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ обозначаСтся .

ПокаТСм, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΒ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

Нарисован Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π½Π°Β Π½Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ А с абсциссой . ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ в этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠœΡ‹Β Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ, насколько ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Удобная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° для этого — тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Β Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ в этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅Β β€” в качСствС ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹Β Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси ОΠ₯.

Иногда учащиСся ΡΠΏΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊΒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ прямая, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π°Β Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ участкС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с графиком, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° нашСм рисункС. ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊ окруТности.

НайдСм . ΠœΡ‹Β ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ тангСнс острого ΡƒΠ³Π»Π° Π²Β ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊΒ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ. Π˜Π·Β Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

ΠœΡ‹Β Π½Π°ΡˆΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΡΒ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Π΄Π°ΠΆΠ΅ нС зная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Β Π•Π“Π­ ΠΏΠΎΒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая задаСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

.

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° k в этом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ называСтся ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом прямой. Она Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой к оси X.

.

ΠœΡ‹Β ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. Она Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Β Ρ€Π°Π²Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ в этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, производная Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

ΠœΡ‹Β ΡƒΠΆΠ΅ сказали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΒ Ρ‚ΠΎΠΉΒ ΠΆΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Β Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ разная производная. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΒ ΠΆΠ΅ связана производная с повСдСниСм Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

НарисуСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Β ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… участках эта функция возрастаСт, Π½Π°Β Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ…Β β€” ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ с разной ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π˜Β ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ у этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈΒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

Π’Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ A функция возрастаСт. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊΒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ, провСдСнная Π²Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ A, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» Β ΡΒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси X.Β Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π²Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ A производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

Π’Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ B наша функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ в этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Β ΡΒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси X. Β ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ тангСнс Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½, Π²Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ B производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

Π’ΠΎΡ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ получаСтся:

Если функция возрастаСт, СС производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

Если ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, СС производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

А что ТС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… максимума ΠΈΒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°? ΠœΡ‹Β Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… C (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума) ΠΈ D (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°) ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ в этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, и производная Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π‘Β β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума. В этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ возрастаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ смСняСтся ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ мСняСтся Π²Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π‘ с «плюса» на «минус».

Π’Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ DΒ β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°Β β€” производная Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½ΠΎΒ Π΅Π΅Β Π·Π½Π°ΠΊ мСняСтся с «минуса» на «плюс».

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄: ΡΒ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ всё, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нас интСрСсуСт.

Если производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, то функция возрастаСт.

Если производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, то функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

Π’Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ и мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с «плюса» на «минус».

Π’Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° производная Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ и мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с «минуса» на «плюс».

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ эти Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ Π²Β Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹:

возрастаСтточка максимумаубываСтточка минимумавозрастаСт
+00+

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… уточнСния. Одно ΠΈΠ·Β Π½ΠΈΡ… понадобится Π²Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π•Π“Π­. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅Β β€” Π½Π°Β ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ курсС, ΠΏΡ€ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΅Ρ€ΡŒΠ΅Π·Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈΒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

1. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Β ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, но ни максимума, Π½ΠΈΒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΡƒΒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ в этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ‚. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ называСмая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°:

Π’Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ E ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊΒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°, и производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Однако Π΄ΠΎΒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ E функция возрастала — и послС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ E ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ. Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ нС мСняСтся — ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈΒ ΠΎΡΡ‚Π°Π»Π°ΡΡŒ.

2. Π‘Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° производная нС сущСствуСт. На графикС это соотвСтствуСт Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Β Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ провСсти Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

А как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Ссли функция Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π½Π΅Β Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ, Π°Β Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ? В этом случаС примСняСтся Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π’ Π½Π΅ΠΉ Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ всСх элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° взятия ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ диффСрСнцирования.

ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

ПокаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈΠ· Π‘Π°Π½ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ЀИПИ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ). НайдитС количСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния )=0 Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [-2,5; 9,5].

РСшСниС:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π’Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ 5.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 5.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y= ) β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ). Бколько Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ функция ) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ? Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ это число.

РСшСниС:

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° этом рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π½Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π’ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°Ρ… Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° вопрос ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с «плюса» Π½Π° «минус». Вакая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π°.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

РСшСниС:

Вспомним ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ).

Π­Ρ‚ΠΎ гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция y = f(x) ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, провСдСнная ΠΊ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси Π₯. НайдСм тангСнс острого ΡƒΠ³Π»Π° смСТного с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -0,5.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅?

РСшСниС:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Если функция возрастаСт β€” Π΅Π΅ производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Если функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ β€” Π΅Π΅ производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с «минуса» Π½Π° «плюс».

На рисункС Π΅ΡΡ‚ΡŒ такая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, ΠΈ это x = 1,5.

Π‘Π»Π΅Π²Π° ΠΎΡ‚ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [1; 1,5] производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, ΠΈ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π° ΠΎΡ‚ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [1,5; 5), производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, ΠΈ функция возрастаСт.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ своС наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 1,5.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1,5.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 5. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅?

РСшСниС:

На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Если функция возрастаСт β€” Π΅Π΅ производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Если функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ β€” Π΅Π΅ производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с «минуса» Π½Π° «плюс».

На рисункС Π΅ΡΡ‚ΡŒ такая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, ΠΈ это x = 3.

Π‘Π»Π΅Π²Π° ΠΎΡ‚ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, ΠΈ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x = 3 производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, ΠΈ функция возрастаСт.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, Π²ΠΈΠ΄ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ квадратичная ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° с вСтвями Π²Π²Π΅Ρ€Ρ….

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 3.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 6. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅?

РСшСниС:

На ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ располоТСна Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с Β«+Β» Π½Π° Β«-Β».

Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: — 2,5.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 7. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-3;7). Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° [-2; 4] функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅?

РСшСниС:

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) β€” это x = 0. Π’ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° 0 ΠΈ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с «минуса» Π½Π° «плюс».

Π‘Π»Π΅Π²Π° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 0 производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π° ΠΎΡ‚ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, функция возрастаСт.

НаимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ достигаСтся ΠΏΡ€ΠΈ x = 0.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 0.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 8. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

РСшСниС:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° тангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

— ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ производная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, Ρ‚.ΠΊ. функция β€” ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси Π₯.

Π£Π³ΠΎΠ» β€” Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ, Π° смСТный с Π½ΠΈΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ» β€” острый.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -0,375.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 9. На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ CD ΠΈ MN, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А ΠΈ Π’. НайдитС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А ΠΈ Π’.

РСшСниС:

Найдём значСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А ΠΈ Π’ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

Π³Π΄Π΅ β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с абсциссой

Для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А:

Для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’:

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…:

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 0,15.

Условия касания

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ прямая касаСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π’ΠΎΠ³Π΄Π° для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ условия касания:

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ, ΠΈ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ условиС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ k.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 10. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ касаСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ абсцисса Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. НайдитС b.

РСшСниС:

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ условиС касания:

НачнСм со Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния:

Π’.ΠΊ. Ρ‚ΠΎ

НайдСм подставив Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -7.

Условия касания Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² заданиях 1 части Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π½ΠΎ ΠΈ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, это ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ.

ЀизичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ΠœΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π•Π“Π­. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

И оказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ познакомились Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ β€” Π² школьном курсС Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. Π’Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ пользовались этим матСматичСским понятиСм, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ словом «производная».

Вспомним Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ Β«ΠšΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Β» Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ мСханичСскоС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ описываСтся Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°, β€” это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ v, врСмя t, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ…, Ссли Ρ‚Π΅Π»ΠΎ двиТСтся вдоль прямой. Или ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x ΠΈ y, Ссли ΠΎΠ½ΠΎ двиТСтся ΠΏΠΎ плоскости.

Вспомним Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ прямолинСйного двиТСния: Π³Π΄Π΅ x β€” ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ 3 ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ β€” Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‚Ρ€ΠΈ автомобиля β€” ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Ρ‹Π΅Π·ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ с постоянными скоростями ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΈ Π΅Π΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎ прямолинСйному шоссС. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ мСняСтся ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° x с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π£ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»Π΅ΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ большС?

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ. Бчитая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x = vt, для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ автомобиля Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ = 20 ΠΊΠΌ/Ρ‡. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, это машина, которая ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ чистит Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³Ρƒ, ΠΈ поэтому Ρ‚Π°ΠΊ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Π΅Π΄Π΅Ρ‚. Для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ автомобиля = 40 ΠΊΠΌ/Ρ‡, для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ = 75 ΠΊΠΌ/Ρ‡.

Но Ссли ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° врСмя, Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих прямых. Π’Π°ΠΊ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ.

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° β€” это производная ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒ, двиТСтся вдоль оси x, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ являСтся постоянной. Π—Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ x(t) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ВангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° этой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ числСнно Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ скорости Ρ‚Π΅Π»Π° Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мгновСнная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” это производная ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΎ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Но Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ физичСской Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.

УскорСниС β€” это производная ΠΎΡ‚ скорости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π‘ΠΈΠ»Π° Ρ‚ΠΎΠΊΠ° β€” производная ΠΎΡ‚ заряда ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π°Ρ курс Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ Π² школС ΠΈ Π² Π²ΡƒΠ·Π΅, Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ мноТСство ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ΄Π½ΠΈ физичСскиС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… физичСских Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ уравнСния Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. А само дСйствиС взятия ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Π’ΠΎΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΈΠ· Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11. ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° M Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΈ двиТСтся ΠΏΠΎ прямой Π½Π° протяТСнии 12 сСкунд. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ мСнялось расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M со Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ. На оси абсцисс откладываСтся врСмя t Π² сСкундах, Π½Π° оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ β€” расстояниС s.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, сколько Ρ€Π°Π· Π·Π° врСмя двиТСния ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² ноль (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† двиТСния Π½Π΅ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅).

РСшСниС:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ β€” это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. МгновСнная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ двиТущСгося Ρ‚Π΅Π»Π° (ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ) являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

НайдСм Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ s(t) Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ s(t) Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π’Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ 6. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ s(t).

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 6.

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π°Ρ Π²Ρ‹ΡΡˆΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Π² Π²ΡƒΠ·Π΅, Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ называСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, стрСмящСмся ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² вашСм школьном ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. Но Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½Π΅Π΅ Π½Π΅ мСханичСски Π΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Π° ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ смысл. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ шаги ΠΊ этому ΠΌΡ‹ сдСлали, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Бпасибо Π·Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ нашими ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ. Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡ Π½Π° страницС Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΒ» ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π° нашими Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π²Π°ΠΌ Π² освоСнии ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π° ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΊ экзамСнам. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π’Π£Π— ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всС инструмСнты: ΡƒΡ‡Π΅Π±Π°, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΏΠΈΠ°Π΄Ρ‹, ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ, сборники Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² нашСго сайта.

ΠŸΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π°: 08.04.2023

Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Ρ‚ Π² Excel для Mac

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Ρ‚Ρƒ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚Π°, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² Π΄Π²Π΅ Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π² спискС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ количСство Π΄Π½Π΅ΠΉ, мСсяцСв ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅Ρ‚ ΠΊ Π΄Π°Ρ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ листа, которая ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с Π΄Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΊ Π΄Π°Ρ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π°Ρ‚Ρ‹

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, остаток Π½Π° счСтС Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‡Π΅Π½ 8 фСвраля 2012 Π³. Π’Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ пСрСвСсти срСдства Π½Π° свой расчСтный счСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эти срСдства поступили Π·Π° 15 ΠΊΠ°Π»Π΅Π½Π΄Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π½Π΅ΠΉ Π΄ΠΎ установлСнного срока. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² вашСй ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ записи прСдусмотрСн 30-Π΄Π½Π΅Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†ΠΈΠΊΠ» выставлСния счСтов, ΠΈ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π°ΠΌ слСдуСт пСрСвСсти срСдства для ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹ счСта Π·Π° ΠΌΠ°Ρ€Ρ‚ 2012 Π³., Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эти срСдства Π±Ρ‹Π»ΠΈ доступны Π·Π° 15 Π΄Π½Π΅ΠΉ Π΄ΠΎ этой Π΄Π°Ρ‚Ρ‹. Для этого Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ дСйствия:

  1. ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ лист Π² ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅.

  2. Π’ ячСйкС A1 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ 08.02.12 .

  3. Π’ ячСйкС B1 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ =A1-15 ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΡˆΡƒ RETURN.

    Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚ 15 Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π°Ρ‚Ρ‹ Π² ячСйкС A1.

  4. Π’ ячСйкС C1 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ =A1+30 ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΡˆΡƒ RETURN.

    Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° добавляСт 30 Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΊ Π΄Π°Ρ‚Π΅ Π² ячСйкС A1.

  5. Π’ ячСйкС D1 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ =C1-15 ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΡˆΡƒ RETURN.

    Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚ 15 Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π°Ρ‚Ρ‹ Π² ячСйкС C1.

    Π’ ячСйках A1 ΠΈ C1 ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π΄Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹ (08.02.12 ΠΈ 09.03.12) остатков ΠΏΠΎ счСтам Π·Π° Ρ„Π΅Π²Ρ€Π°Π»ΡŒ ΠΈ ΠΌΠ°Ρ€Ρ‚. Π’ ячСйках B1 ΠΈ D1 ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π΄Π°Ρ‚Ρ‹ (24.01.12 ΠΈ 23.02.12), ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ пСрСвСсти свои срСдства, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эти срСдства поступили Π½Π° 15 ΠΊΠ°Π»Π΅Π½Π΄Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ сроков ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ мСсяцСв ΠΊ Π΄Π°Ρ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ мСсяцСв ΠΈΠ· Π΄Π°Ρ‚Ρ‹

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ количСство Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… мСсяцСв ΠΊ Π΄Π°Ρ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π΅. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π”ΠΠ’ΠΠœΠ•Π‘, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ быстро ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это.

Ѐункция Π”ΠΠ’ΠΠœΠ•Π‘ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄Π²Π° значСния (Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ): Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΄Π°Ρ‚Π° ΠΈ количСство мСсяцСв, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ мСсяцы, Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π² качСствС Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, =Π”ΠΠ’ΠΠœΠ•Π‘(«15.02.12»,-5)). Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚ 5 мСсяцСв ΠΈΠ· 15.02.12 ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π°Ρ‚Ρƒ 9/15/11.

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π»ΠΈΠ±ΠΎ со ссылкой Π½Π° ячСйку, ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Ρ‚Ρ‹, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π²Π²ΠΎΠ΄Π° Π΄Π°Ρ‚Ρ‹ Π² ΠΊΠ°Π²Ρ‹Ρ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ «15.02.12».

НапримСр, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 16 мСсяцСв ΠΊ 16 октября 2012 Π³.

  1. Π’ ячСйкС A5 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ 16.10.12 .

  2. org/ListItem»>

    Π’ ячСйкС B5 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ =ДАВА(A5,16) , Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ RETURN .

    Ѐункция ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ячСйкС A5 Π² качСствС Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π°Ρ‚Ρ‹.

  3. Π’ ячСйкС C5 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ =Π”ΠΠ’ΠΠœΠ•Π‘(«16/12/12»,16) , Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ RETURN .

    Π’ этом случаС функция ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, Β«16.10.12Β».

    Π’ ячСйках B5 ΠΈ C5 ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π΄Π°Ρ‚Π° 16.02.14.

    ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ чисСл, Π° Π½Π΅ Π΄Π°Ρ‚?

    Π’ зависимости ΠΎΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π° ячССк, содСрТащих Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Excel ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ порядковых Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²; Π² этом случаС 16.02.14 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ 41686. Если ваши Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ сСрийных Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ дСйствия, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚:

      org/ItemList»>
    1. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ячСйки B5 ΠΈ C5.

    2. На Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ Главная Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ ячССк , Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π”Π°Ρ‚Π° . Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ячССк Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π°Ρ‚Ρ‹, Π° Π½Π΅ сСрийного Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· Π΄Π°Ρ‚Ρ‹

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ количСство Π»Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ описано Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅:

Π”Π°Ρ‚Π°

Π»Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ

09. 06.2009

3

02.09.2009

–5

10.12.2010

25

  1. На Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ листС Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ 09.06.2009 Π² ячСйку A2, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ 3 Π² ячСйку B2.

  2. Π’ ячСйкС A3 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ 02.09.2009 , Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ -5 Π² ячСйку B3.

  3. org/ListItem»>

    Π’ ячСйкС A4 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ 10.12.2010 , Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ 25 Π² ячСйкС B4.

  4. Π’ ячСйкС A6 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ =ДАВА(Π“ΠžΠ”(A2)+B2,ΠœΠ•Π‘Π―Π¦(A2),ДЕНЬ(A2)) , Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ RETURN .

    Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° складываСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ячСйкС B2 (3 Π³ΠΎΠ΄Π°) со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ячСйкС A2 для Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° ΠΎΡ‚ 09.06.2012.

  5. Π’ ячСйкС A7 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ =ДАВА(Π“ΠžΠ”(A3)+B3,ΠœΠ•Π‘Π―Π¦(A3),ДЕНЬ(A3)) , Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ RETURN .

    Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° добавляСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ячСйкС B3 (–5 Π»Π΅Ρ‚) ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² ячСйкС A3, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ 9/2/2004.

  6. Π’ ячСйкС A8 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ =ДАВА(Π“ΠžΠ”(A4)+B4,ΠœΠ•Π‘Π―Π¦(A4),ДЕНЬ(A4)) ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ RETURN .

    Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° добавляСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ячСйкС B4 (25 Π»Π΅Ρ‚) ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² ячСйкС A4, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ 10.12.35.

    Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ количСство Π»Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· столбца B добавляСтся ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π³ΠΎΠ΄Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· Π΄Π°Ρ‚Ρ‹ Π² столбцС A.

    НапримСр, Π² ячСйкС A6 функция Π“ΠžΠ” ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для Π΄Π°Ρ‚Ρ‹ Π² ячСйкС A2 (09.06.2009) ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ 2009 Π² качСствС Π³ΠΎΠ΄Π°. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° добавляСт 3 (Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ячСйкС B2) ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π³ΠΎΠ΄Π°, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ получаСтся 2012. Π’ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ функция ΠœΠ•Π‘Π―Π¦ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6, Π° функция ДЕНЬ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ функция ДАВА ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅Ρ‚ эти Ρ‚Ρ€ΠΈ значСния Π² Π΄Π°Ρ‚Ρƒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΈ Π³ΠΎΠ΄Π°: 09.06.2012.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π½Π΅ΠΉ, мСсяцСв ΠΈ Π»Π΅Ρ‚ ΠΊ Π΄Π°Ρ‚Π΅

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π΄Π½Π΅ΠΉ, мСсяцСв ΠΈ Π»Π΅Ρ‚ ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Π°Ρ‚Π΅.

  1. org/ListItem»>

    На Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ листС Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ 09.06.2012 Π² ячСйку A2.

  2. Π’ ячСйкС A4 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ =ДАВА(Π“ΠžΠ”(A2)+3,ΠœΠ•Π‘Π―Π¦(A2)+1,ДЕНЬ(A2)+5) , Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ RETURN .

    Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° добавляСт 3 Π³ΠΎΠ΄Π°, 1 мСсяц ΠΈ 5 Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΊ 6/9./2012, ΠΏΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ 14.07.2015.

  3. Π’ ячСйкС A5 Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ =ДАВА(Π“ΠžΠ”(A2)+1,ΠœΠ•Π‘Π―Π¦(A2)+7,ДЕНЬ(A2)+5) , Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ RETURN .

    Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° добавляСт 1 Π³ΠΎΠ΄, 7 мСсяцСв ΠΈ 5 Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΊ 09.06.2012, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ 14.01.2014.

    Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ количСство Π»Π΅Ρ‚, мСсяцСв ΠΈ Π΄Π½Π΅ΠΉ добавляСтся ΠΊ Π΄Π°Ρ‚Π΅, содСрТащСйся Π² ячСйкС A2.

    НапримСр, Π² ячСйкС A5 функция Π“ΠžΠ” ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для Π΄Π°Ρ‚Ρ‹ Π² ячСйкС A2 (09. 06.2012) ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ 2012 Π² качСствС Π³ΠΎΠ΄Π°. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° добавляСт 1 ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π³ΠΎΠ΄Π°, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ получаСтся 2013 Π³ΠΎΠ΄. Ѐункция ΠœΠ•Π‘Π―Π¦ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6, ΠΈ ΠΊ этому Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ добавляСтся 7 мСсяцСв. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ сумма 6 мСсяцСв плюс 7 мСсяцСв составляСт 13 мСсяцСв, функция ДАВА прибавляСт 1 Π³ΠΎΠ΄ ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π³ΠΎΠ΄Π°, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ получаСтся 2014. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ функция ДАВА Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚ 12 ΠΈΠ· значСния мСсяца, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ мСсяца Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1. Ѐункция ДЕНЬ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9, ΠΈ ΠΊ этому прибавляСтся 5 Π΄Π½Π΅ΠΉ, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ получаСтся 14. НаконСц, функция ДАВА ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅Ρ‚ эти Ρ‚Ρ€ΠΈ значСния (2014, 1 ΠΈ 14) Π² Π΄Π°Ρ‚Ρƒ, которая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π³ΠΎΠ΄, сСмь мСсяцСв ΠΈ 5 Π΄Π½Π΅ΠΉ отстаСт Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π³ΠΎΠ΄: 1/ 14/2014.

Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ минус 1 β€” ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹

Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ минус 1

Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ стратСгии слоТСния ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ числа ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ числа Π² ΡƒΠΌΠ΅. Π’ этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ постараСмся ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… стратСгий слоТСния: ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½. Π­Ρ‚Π° стратСгия Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠ° ΠΊ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°ΠΌ удвоСния ΠΈ извСстна ΠΊΠ°ΠΊ стратСгия ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ удвоСния.

БвязанныС ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹?

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ число, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹. Π€Π°ΠΊΡ‚ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ слоТСния β€” это матСматичСский Ρ„Π°ΠΊΡ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ складываСм Π΄Π²Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… числа. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим Ρ„Π°ΠΊΡ‚ удвоСния ΠΎΡ‚ $1$$ Π΄ΠΎ $$10$.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ сумма Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… чисСл всСгда Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹.

ПониманиС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ числами ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ стратСгии для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. ΠœΡ‹ примСняСм этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ суммы для ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ². Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ погрузимся ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ числа, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΡ‚Ρ€Π°Ρ‚Π΅Π³ΠΈΡŽ удвоСния минус 1.

БвязанныС листы

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ стратСгия Β«Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Β»?

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ распознали Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… для слоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ большС, помогая Π§ΠΈ. Π£ Π§ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΡ‚ΠΎΠΊ с яйцами, Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ряду ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ 6 яиц, Π° Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ ряду 5 яиц. ΠŸΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΈΡ‚Π΅ Π§ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, сколько яиц Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ всСго.

Π§ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ $6 + 5$. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство, посчитав всС яйца. Однако ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ наши знания ΠΎ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ быстро ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

Он Π·Π½Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² Π΄Π²ΡƒΡ… рядах Π»ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ яиц, получаСтся 12 яиц. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, 6 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² + 6 = 12 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ². ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот Β«Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Β», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 5 Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС 6. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 6 + 6 = 12, 6 + 5 Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ 6 + 6 ΠΈΠ»ΠΈ 12. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, 6 + 5 Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ 12 ΠΈΠ»ΠΈ 11. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π£ Π§ΠΈ 11 яиц.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числа, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΡ‚Ρ€Π°Ρ‚Π΅Π³ΠΈΡŽ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½. Π­Ρ‚ΠΎ дСлаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ добавлСния большСго числа Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ удвоСния Π΅Π³ΠΎ ΠΈ вычитания ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

НапримСр, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ $8 + 8 = 16$, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сумму 8 ΠΈ 7.Β 

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 7 Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ $8, 8 + 7 = 8 + 8$ $-$ $1 = 16$ $–$ $1 = 15$

Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ удвоСниями ΠΈ стратСгиСй удвоСния минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½

Когда ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ удвоСниях, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа ΠΊ самому сСбС. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, называСтся Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ числом. Напротив, стратСгия удвоСния минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ β€” это способ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π’ этом процСссС ΠΌΡ‹ просто ΡƒΠ΄Π²Π°ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ большСС ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл.

Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плюс ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½

ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚Ρ€Π°Ρ‚Π΅Π³ΠΈΡŽ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ удвоСния для Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ…. Π‘Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚Π΅Π³ΠΈΠΈ Β«Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ плюс ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Β» ΠΈ Β«Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Β» выводят сумму Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅ΠΌ ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

Π Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

1. НайдитС 4 + 3, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚.0003

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $4 + 4 = 8, 4 + 3 = 8$ $-$ $1 = 7$.

2. C Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Β $12 + 11 = 12 + 12$ $– \underline{}$

РСшСниС: 

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 11 Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС 12. , $12 + 11 = 12 + 12$ $-$ $1$.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1.

3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ.

Π’ ΠΏΡ€ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΏΠ»Π°Π²Π°Π»ΠΈ 7 ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ. К Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ 6 ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ. Бколько ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ сСйчас Π² ΠΏΡ€ΡƒΠ΄Ρƒ?

РСшСниС:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ $7 + 6$. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ $7 + 6$ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ $7 + 7$, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚: $7 + 7 = 14$, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ эту ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 7 + 7 = 14, 7 + 6 = 14 $ $-$ 1 $ = 13 $

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1

КакоС ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚?

$3 + 4$

$7 + 6$

$5 + 4$

$9 + 8$

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $5 + 4$
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $5 + 6$ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ большС, Π° $5 + 4$ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ $5 + 6$ ΠΈ $5 + 4$.

2

Если 7$ + 7 = 14$, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 7$ + 6$?

$14$ $–$ $1$

$14 + 1$

$14$ $–$ $6$

$14$ $–$ $7$

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $14$ $–$ $1$
ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ $7 + 7 = 14, 7 + 6 = 7 + 7$ $–$ $1 = 14$ $–$ $1 = 13$

3

Какой Ρ„Π°ΠΊΡ‚ удвоСния ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ $9 + 8$, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΡ‚Ρ€Π°Ρ‚Π΅Π³ΠΈΡŽ удвоСния минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½?

$7 + 7$

$8 + 8$

$9 + 9$

$10 + 10$

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $9 + 9$
$9 + 8$ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа $9$ ΠΈΠ»ΠΈ $9 + 9$.

Leave a Reply

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *