От минус 1 до плюс 6: Сложение Чисел с Разными Знаками

Возрастание и убывание функции — как найти?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Сегодня мы поговорим о возрастании и убывании функции. Как вы знаете, эта тема достаточно важна, потому что встречается на ЕГЭ, во вступительных экзаменах. А еще ее подробно разбирают на уроках в школе. Сложная ли она? И да, и нет. Мы бы сказали, что она не трудная, а скорее комплексная — в теме много нюансов и моментов, которые тянутся к ней с начальной школы. Но не беспокойтесь, сегодня мы обязательно во всем разберемся!

Что такое функция

Как обычно, начнем мы с самого начала: с определения слова «функция».

Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Под функцией понимают правило, формулу, уравнение, которое описывает зависимость одной переменной от другой (например, у от х). Если изучить функцию, мы поймем:

• как изменится одна переменная, если другая увеличится;

• что произойдет с аргументом, если мы уменьшим функцию;

• что будет, если мы отобразим эту зависимость графически.

Спойлер: если изобразить зависимость в координатной системе, мы получим график! Давайте рассмотрим некоторые виды функций и графики, которые им соответствуют.

Важное напоминание:

функция — это зависимая переменная величина (чаще у), аргумент — независимая переменная (чаще х).

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Возрастание и убывание функции

В исследовании функции особое значение уделяют ее поведению в системе координат — монотонности функции. Функции бывают монотонными, немонотонными и постоянными.

Монотонная функция — функция, которая возрастает или убывает на всем промежутке области определения.

Функцию считают немонотонной, если на промежутке области своего определения она чередует возрастание и убывание.

Постоянная функция, как ясно из названия, постоянна на всем промежутке и представляет собой прямую, параллельную оси x.

Теперь к теме раздела: приведем определение возрастающей и убывающей функции.

Функция называется возрастающей, когда при увеличении аргумента увеличивается и сама функция.

Проще говоря, здесь работает правило «чем больше, тем больше»: чем больше значение х, тем больше и значение у.

Функция считается убывающей, когда при увеличении аргумента функция уменьшается: чем больше х, тем меньше у.

Теперь вы знаете, как понять, что функция возрастает или убывает. Давайте решим пару задач, чтобы разобраться во всем наглядно.

Задача 1

Определите, возрастающая или убывающая функция y = 2x + 3.

1) Найдем область определения функции: х ∈ R.

2) Найдем координаты нескольких точек, которые ей принадлежат.

х	0	1	2	3
у	3	6	7	9

Как вы уже заметили, значения х и у одновременно увеличиваются — функция возрастает на всем промежутке.

Задача 2

Определите, возрастающая или убывающая функция y = 1/2х.

1) Найдем область определения функции: х ≠ 0.

2) Найдем координаты нескольких точек, которые ей принадлежат.

х	1	2	3	4
у	½	¼	⅙	⅛

х	-1	-2	-3	-4
у	-½	-¼	-⅙	-⅛

Мы видим, что функция убывает при любом значении х ≠ 0. Это можно записать так: функция убывает при х∈ (– ∞ ;0) ∪ (0; + ∞). Подытожим эту информацию небольшой схемой.

Возрастание и убывание функции на интервале

Мы еще не закончили с возрастающими и убывающими функциями — эх, если бы все было так просто! Дело в том, что нас, математиков, интересуют вот какие вопросы:

• Как найти промежутки возрастания и убывания функции по графику?

• Что делать, если просят определить характер на числовом промежутке?

• Как определить поведение функции без построения?

Давайте разбираться! Сначала узнаем, как определить характер функции на промежутке:

• Подставим значение х из промежутка в функцию.

• Проанализируем полученные значения у.

• Если при увеличении х увеличивается и у — это промежуток возрастания функции.

• Если у уменьшается при увеличении х — это промежуток убывания функции.

Достаточно просто, правда? 🙂

Пример

Возьмем функцию y = 4x – 6 и определим ее характер на промежутке [0;2]. Подставим числа из промежутка вместо х в функцию:

у(0) = –6у(1) = -2у(2) = 2

Мы видим, что при возрастании х возрастает и значение у, т. е. на этом промежутке функция возрастает.

Точки экстремума, экстремумы функции

Не пугайтесь этих страшных слов! Сейчас разберем их подробнее — это проще, чем кажется.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

На графике выше y min — минимальное значение функции,

точка минимума.

Точка минимума — это значение переменной х, при которой функция минимальна.

На том же графике y мах — максимальное значение функции, точка максимума.

Точка максимума — это значение переменной х, при которой функция максимальна.

Иначе точки минимума и максимума в математике принято называть точками экстремума, а значения функции, которые соответствуют точкам экстремума — экстремумами функции.

В точках экстремума функция меняет свой характер. Обратите внимание на рисунок ниже: функция стремительно возрастала до точки максимума, но после нее начала также стремительно уменьшаться. И наоборот, после прохождения точки минимума функция снова начинает возрастать.

Здесь вам может стать интересно: наибольшее/наименьшее значение функции на промежутке — это то же самое или нет. Отвечаем: к сожалению, нет. Эти значения иногда могут совпадать, но часто определяются разными точками.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

У нас есть две новости: хорошая и не очень. Начнем с первой: если использовать достаточные условия возрастания/убывания, можно определить промежутки монотонности функции. И для этого даже не придется строить график! Но здесь нам пригодится производная.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента.

Иначе говоря, производная функции показывает, как быстро увеличивается функция при бесконечно малом увеличении х.

К сожалению, в рамках этой статьи мы не будем долго останавливаться на производных. Как это сделать с помощью таблицы и правил дифференцирования, мы уже разбирали в статье «Таблица производных функций». Советуем почитать!

Достаточные признаки возрастания и убывания функции на интервале:

• если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала, то функция возрастает на этом интервале;

• если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала, то функция убывает на этом интервале.

Составим алгоритм действий, который поможет найти интервалы возрастания и убывания функции:

1. Найдем область определения функции.

2. Найдем производную функции.

3. Решим неравенства ƒ`(x) > 0 и ƒ`(x) < 0 на области определения.

4. К полученным промежуткам добавим граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

5. Проверим достаточные признаки возрастания и убывания функции, подставив значения из промежутков.

Задача 3

Укажите промежутки возрастания и убывания функции у = х² + 5х + 6

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R

2. Найдем производную функции: y’ = 2х + 5

3. Решим неравенство: 2х + 5 > 0

   2х+5 >02x>-5x> –2,5

4. Исследуем знаки производной с помощью числовой прямой.

Ответ: Функция убывает при х∈ (– ∞; –2,5], возрастает при х∈ [–2,5; +∞)

Задача 4

Определите интервалы возрастания и убывания функции у = х³ – 18х.

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R.

2. Найдем производную функции: y’ = 3x² + (–18).

3. Решим неравенство:

   3x² + (–18) > 03 (x²–9) > 03(x – 3)(x + 3) > 0

4. Исследуем знаки производной с помощью числовой прямой. Чтобы определить знак на каждом промежутке, подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Ответ: Функция убывает при х∈ [–3;3], возрастает при х∈ (–∞;—3] ∪ [3; +∞).

Первое достаточное условие экстремума

Пусть для функции у = f(x) определены следующие условия:

1. Функция непрерывна в окрестности точки x0 (нет разрыва).

2. ƒ′(x0) = 0 или ƒ′(x0) не существует;

3. Производная ƒ′(x) при переходе через точку x0 меняет свой знак.

Тогда в точке x = x0 функция y = f(x) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная в точке x0 не меняет свой знак, то в этой точке нет экстремума.

Итак, точки 1 и 4 — точки максимума, точка 3 — точка минимума. В точке 2 экстремума нет.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Теперь разберемся, как найти точки экстремума функции. Для этого пройдем по этим шагам:

1. Найдем область определения функции.

2. Найдем производную функции на этой области.

3. Определим нули и точки, где функция не существует.

4. Определим знак производной на интервалах.

5. Выберем точки, где функция меняет знак.

6. Найдем точки минимума/максимума и экстремумы функции.

Задача 5

Найдите экстремумы функции у = –x² + 8x – 7.

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R.

2. Производная функции: y’ = –2x + 8

3. Решим неравенство:

   –2x + 8 > 0–2x > –8x < 4

4. Определим знак производной на числовой прямой. Чтобы это сделать, на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

В точке х = 4 функция меняет свой знак с «+» на «–», значит, точка х = 4 — это точка максимума.

Ответ: у(4) = 9 — экстремум функции.

Задача 6

Найдите экстремумы функции у = ⅓ x³ + 2x² – 12x + 6.

Решение

1. Область определения функции: х ∈ R.

2. Производная функции: y’ = x² + 4x – 12.

3. Решим неравенство:

   x² + 4x – 12 > 0(x – 2)(x + 6) > 0

4. Определим знак производной на числовой прямой. Чтобы это сделать, на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так на интервале (–∞; –6) и (2; +∞) производная положительна — на них функция возрастает. На интервале (–6;2) производная отрицательна — функция убывает.

Ответ: x = 2 — точка минимума, у(2) = –7 ⅓ — экстремум функции; х = –6 — точка максимума, у(–6) = 78 — экстремум функции.

Как можно запомнить переход знаков для точек максимум или минимум:

• Когда функция возрастает, а потом убывает, мы будто поднимались на вершину горы — значит, посетили точку максимума.

• Когда функция убывает, а потом возрастает, мы будто спускались в овраг и выбрались из него — а значит, были в точке минимума.

Второе достаточное условие экстремума

x₀ — это точка экстремума функции f(x), если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f »(x) ≠ 0). Причем, если вторая производная больше нуля (f »(x) > 0), то точкой минимума, а если вторая производная меньше нуля (f »(x) < 0), то точкой максимума.

Рассмотрим это условие экстремума на примере из задачи 6 — функции у = ⅓ x³ + 2x² – 12x + 6:

1. Ее первая производная равна y’= x² + 4x – 12.

2. Определим нули производной — значение х, при котором производная обращается в ноль: x^{2 + 4x – 12 = 0 при х = 2 и х = –6.}

3. Возьмем вторую производную функции y’’= 2х + 4.

4. Подставим значения х = 2 и х = –6 во вторую производную и определим, являются ли эти точки максимумом или минимумом:

   y’’(2) = 8, y’’ > 0, значит, х = 2 является точкой минимума,y’’(–6) = –8, y’’ < 0, значит, х = –6 является точкой максимум.

В этом условии есть два важных замечания:

1. Если в точке x0 и первая, и вторая производные обращаются в ноль, то в этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции, по второму признаку нельзя судить о наличии или отсутствии экстремумов.

2. Второй достаточный признак нельзя применять, когда в стационарной точке (нуле производной) первая производная не существует. Ведь тогда не существует и вторая производная.

Третье достаточное условие экстремума

Это условие не используется в школьной программе, так как требует большого количества вычислений и логических размышлений. Мы все равно познакомим вас с ним — возможно, вам захочется изучить это усaловие самостоятельно и блеснуть знаниями перед учителем. Что ж, мы только за!

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в ε-окрестности точки x0 и производные до n+1-го порядка в самой точке x0. Пусть ƒ′(x₀) = ƒⁿ(x₀) = ƒ^m(x₀) = … = ƒ⁽ⁿ⁾(x₀) = 0 и ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) ≠ 0.

Тогда,

• если n – четное, то x₀ — точка перегиба;

• если n – нечетное, то x₀ — точка экстремума, причем

• если ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) > 0, то x₀ — точка минимума;

• если ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) < 0, то x₀ — точка максимума.

Думаем, вы убедились, что тема «Возрастание и убывание функции» достаточно интересна. В то же время, она требует умения исследовать графики, находить первую и вторую производную функции, определять знаки по числовым прямым. Получить практический опыт решения таких заданий можно на курсах по профильной математике в школе Skysmart! Там мы сможем закрепить полученные знания, подготовиться к контрольным работам и даже к ОГЭ! Заинтригованы? Тогда мы ждем вас на занятиях!

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Дарья Вишнякова

К предыдущей статье

Разложение чисел на простые множители

К следующей статье

Плоскость

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Производная функции.

Геометрический смысл производной.

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Определение.

Производная – это скорость изменения функции.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку А с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке  равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

.

Величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси X.

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке A функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A, образует острый угол  с положительным направлением оси X. Значит, в точке A производная положительна.

В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол  с положительным направлением оси X.  Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке B производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка С — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке С с «плюса» на «минус».

В точке D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
	+	0	—	0	+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

1. Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке E касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки E функция возрастала — и после точки E продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

2. Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных. В ней вы найдете производные всех элементарных функций и правила взятия производных, то есть дифференцирования.

Геометрический смысл производной, задачи

Покажем, что такое геометрический смысл производной, на примере нескольких задач из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. На рисунке изображен график функции ). Найдите количество решений уравнения )=0 на отрезке [-2,5; 9,5].

Решение:

Производная функции равна нулю в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

Задача 2. На рисунке изображен график функции y= ) — производной функции ). Сколько точек максимума имеет функция ) на отрезке ? В ответе запишите это число.

Решение:

Обратите внимание, что на этом рисунке изображен не график функции, а график ее производной.

В вариантах ЕГЭ по математике таких задач много. Пользуясь графиком производной, надо ответить на вопрос о поведении функции.

В точке максимума функции производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Такая точка на отрезке на графике одна.

Ответ: 1.

Задача 3. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Решение:

Вспомним определение.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке (то есть угловому коэффициенту касательной).

Это геометрический смысл производной.

В точке функция y = f(x) убывает. Касательная, проведенная к ее графику в этой точке, образует тупой угол с положительным направлением оси Х. Найдем тангенс острого угла смежного с углом

Ответ: -0,5.

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции определенной на отрезке В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 1,5.

Слева от этой точки, на отрезке [1; 1,5] производная отрицательна, и функция убывает. Справа от этой точки, на интервале [1,5; 5), производная положительна, и функция возрастает.

Значит, — точка минимума функции

Поэтому и свое наименьшее значение функция принимает в точке 1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 5. На рисунке изображен график — производной функции В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 3.

Слева от этой точки производная отрицательна, и функция убывает. Справа от точки x = 3 производная положительна, и функция возрастает.

Значит, — точка минимума функции

Кстати, вид графика функции определить нетрудно. Это квадратичная парабола с ветвями вверх.

Ответ: 3.

Задача 6. На рисунке изображен график производной непрерывной функции В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Решение:

На отрезке расположена точка в которой производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-».

Это значит, что — точка максимума функции на отрезке и наибольшее значение функция принимает именно в этой точке.

Ответ: — 2,5.

Задача 7. На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале (-3;7). В какой точке отрезка [-2; 4] функция принимает наименьшее значение?

Решение:

Точка минимума функции f(x) — это x = 0. В этой точке производная равна 0 и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Слева от точки 0 производная отрицательна, функция убывает. Справа от этой точки производная положительна, функция возрастает.

Наименьшее значение на отрезке достигается при x = 0.

Ответ: 0.

Задача 8. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Решение:

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

— касательная к

В точке производная отрицательная, т.к. функция — убывает в этой точке.

— угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.

Угол — тупой, а смежный с ним угол — острый.

Ответ: -0,375.

Задача 9. На рисунке изображен график непрерывной функции f(x) и касательные CD и MN, проведенные к ее графику в точках А и В. Найдите отношение значений производной функции f(x) в точках А и В.

Решение:

Найдём значения производных в точках А и В с помощью графика.

где — угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой

Для точки А:

Для точки В:

Отношение производных:

Ответ: 0,15.

Условия касания

Пусть прямая касается графика функции в точке Тогда для точки выполняются условия касания:

Первое уравнение показывает, что значения функций и в точке равны друг другу. Это верно, поскольку эта точка лежит и на одном, и на другом графике.

Второе условие показывает, что производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.

Задача 10. Прямая касается графика функции причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.

Решение:

Запишем условие касания:

Начнем со второго уравнения:

Т.к. то

Найдем подставив в первое уравнение:

отсюда

Ответ: -7.

Условия касания встречаются нам не только в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, но и в задачах с параметрами. Более того, это один из приемов решения уравнений и неравенств с параметрами.

Физический смысл производной

Мы узнали, что такое геометрический смысл производной. Научились находить производную с помощью графика функции и решать задачи ЕГЭ. Производная помогает нам исследовать функции, находить их точки максимума и минимума, строить графики функций.

И оказывается, что с производной вы познакомились намного раньше — в школьном курсе физики. Вы уже пользовались этим математическим понятием, но не называли его словом «производная».

Вспомним тему «Кинематика» в физике. Это раздел физики, описывающий механическое движение. Величины, которыми описывается движение какого-либо тела, — это скорость v, время t, координата х, если тело движется вдоль прямой. Или координаты x и y, если оно движется по плоскости.

Вспомним формулу для равномерного прямолинейного движения: где x — координата.

Пусть 3 материальных точки — например, три автомобиля — одновременно выезжают с постоянными скоростями из точки А и едут по прямолинейному шоссе. На графике показано, как меняется их координата x с течением времени. У какого из автомобилей скорость больше?

Очевидно, у третьего. Считая, что x = vt, для первого автомобиля найдем = 20 км/ч. Возможно, это машина, которая поливает или чистит дорогу, и поэтому так медленно едет. Для второго автомобиля = 40 км/ч, для третьего = 75 км/ч.

Но если пройденный путь, то есть изменение координаты тела, мы разделим на время, то найдем тангенс угла наклона для каждой из этих прямых. Так и есть.

Скорость тела — это производная от его координаты по времени.

А теперь пусть тело, например, автомобиль, движется вдоль оси x, причем его скорость не является постоянной. Зависимость его координаты от времени x(t) показана на графике.

Возьмем на графике точку, соответствующую моменту времени и проведем в этой точке касательную к графику функции.

Тангенс угла наклона этой касательной численно равен мгновенной скорости тела в момент

Мы получили, что мгновенная скорость — это производная от координаты по времени.

Это физический смысл производной.

Но не только скорость в физике является производной от другой физической величины, координаты.

Ускорение — это производная от скорости по времени. Сила тока — производная от заряда по времени.

Изучая курс физики в школе и в вузе, вы увидите множество уравнений, связывающих одни физические величины с производными других физических величин. Такие уравнения называются дифференциальными. А само действие взятия производной называется дифференцированием.

Вот задача из вариантов ЕГЭ по математике, где используется физический смысл производной.

Задача 11. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Решение:

Производная — это скорость изменения функции. Мгновенная скорость движущегося тела (материальной точки) является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной.

Найдем на графике s(t) точки, в которых производная функции s(t) равна нулю. Таких точек 6. Это точки максимума и минимума функции s(t).

Ответ: 6.

Изучая высшую математику в вузе, вы узнаете еще одно определение производной.

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

Это определение есть в вашем школьном учебнике алгебры. Но намного важнее не механически его запомнить, а понять его смысл. Первые шаги к этому мы сделали, определив производную как скорость изменения функции. Мы также узнали, что такое геометрический смысл производной и физический смысл производной.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Производная функции. Геометрический смысл производной» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Добавление или вычитание дат в Excel для Mac

Предположим, вы хотите скорректировать дату завершения проекта, добавив две недели, или хотите определить продолжительность отдельной задачи в списке задач. Вы можете добавить или вычесть количество дней, месяцев или лет к дате или от нее, используя простую формулу, или вы можете использовать функцию листа, которая предназначена специально для работы с датами.

Добавление дней к дате или вычитание дней из даты

Предположим, остаток на счете должен быть оплачен 8 февраля 2012 г. Вы хотите перевести средства на свой расчетный счет, чтобы эти средства поступили за 15 календарных дней до установленного срока. Кроме того, вы знаете, что в вашей учетной записи предусмотрен 30-дневный цикл выставления счетов, и вы хотите определить, когда вам следует перевести средства для оплаты счета за март 2012 г., чтобы эти средства были доступны за 15 дней до этой даты. Для этого выполните следующие действия:

1. Открыть новый лист в книге.

2. В ячейке A1 введите 08.02.12 .

3. В ячейке B1 введите =A1-15 и нажмите клавишу RETURN.

   Эта формула вычитает 15 дней из даты в ячейке A1.

4. В ячейке C1 введите =A1+30 и нажмите клавишу RETURN.

   Эта формула добавляет 30 дней к дате в ячейке A1.

5. В ячейке D1 введите =C1-15 и нажмите клавишу RETURN.

   Эта формула вычитает 15 дней из даты в ячейке C1.

   В ячейках A1 и C1 указаны даты оплаты (08.02.12 и 09.03.12) остатков по счетам за февраль и март. В ячейках B1 и D1 указаны даты (24.01.12 и 23.02.12), к которым вы должны перевести свои средства, чтобы эти средства поступили на 15 календарных дней раньше сроков оплаты.

Добавление месяцев к дате или вычитание месяцев из даты

Предположим, вы хотите прибавить или вычесть определенное количество целых месяцев к дате или от нее. Вы можете использовать функцию ДАТАМЕС, чтобы быстро сделать это.

Функция ДАТАМЕС требует два значения (также называемых аргументом): начальная дата и количество месяцев, которые вы хотите добавить или вычесть. Чтобы вычесть месяцы, введите отрицательное число в качестве второго аргумента (например, =ДАТАМЕС(«15.02.12»,-5)). Эта формула вычитает 5 месяцев из 15.02.12 и дает дату 9/15/11.

Вы можете указать значение даты начала либо со ссылкой на ячейку, содержащую значение даты, либо путем ввода даты в кавычках, например «15.02.12».

Например, предположим, что вы хотите добавить 16 месяцев к 16 октября 2012 г.

1. В ячейке A5 введите 16.10.12 .

2. org/ListItem»>

   В ячейке B5 введите =ДАТА(A5,16) , а затем нажмите RETURN .

   Функция использует значение в ячейке A5 в качестве начальной даты.

3. В ячейке C5 введите =ДАТАМЕС(«16/12/12»,16) , а затем нажмите RETURN .

   В этом случае функция использует значение даты, которое вы вводите напрямую, «16.10.12».

   В ячейках B5 и C5 указана дата 16.02.14.

   Почему мои результаты отображаются в виде чисел, а не дат?

   В зависимости от формата ячеек, содержащих введенные формулы, Excel может отображать результаты в виде порядковых номеров; в этом случае 16.02.14 может отображаться как 41686. Если ваши результаты отображаются в виде серийных номеров, выполните следующие действия, чтобы изменить формат:

   org/ItemList»>

   1. Выберите ячейки B5 и C5.

   2. На вкладке Главная в разделе Формат выберите Формат ячеек , а затем выберите Дата . Значение в каждой из ячеек должно отображаться в виде даты, а не серийного номера.

Прибавление или вычитание лет из даты

Предположим, вы хотите прибавить или вычесть определенное количество лет из определенных дат, как описано в следующей таблице:

Дата	лет, чтобы прибавить или вычесть
09. 06.2009	3
02.09.2009	–5
10.12.2010	25

1. На новом листе введите 09.06.2009 в ячейку A2, а затем введите 3 в ячейку B2.

2. В ячейке A3 введите 02.09.2009 , а затем введите -5 в ячейку B3.

3. org/ListItem»>

   В ячейке A4 введите 10.12.2010 , а затем введите 25 в ячейке B4.

4. В ячейке A6 введите =ДАТА(ГОД(A2)+B2,МЕСЯЦ(A2),ДЕНЬ(A2)) , а затем нажмите RETURN .

   Эта формула складывает значение в ячейке B2 (3 года) со значением в ячейке A2 для результата от 09.06.2012.

5. В ячейке A7 введите =ДАТА(ГОД(A3)+B3,МЕСЯЦ(A3),ДЕНЬ(A3)) , а затем нажмите RETURN .

   Эта формула добавляет значение в ячейке B3 (–5 лет) к значению в ячейке A3, чтобы получить результат 9/2/2004.

6. В ячейке A8 введите =ДАТА(ГОД(A4)+B4,МЕСЯЦ(A4),ДЕНЬ(A4)) и нажмите RETURN .

   Эта формула добавляет значение в ячейке B4 (25 лет) к значению в ячейке A4, чтобы получить результат 10.12.35.

   В каждой из трех формул указанное количество лет из столбца B добавляется к значению года, полученному из даты в столбце A.

   Например, в ячейке A6 функция ГОД используется для даты в ячейке A2 (09.06.2009) и возвращает 2009 в качестве года. Затем формула добавляет 3 (значение в ячейке B2) к значению года, в результате чего получается 2012. В той же формуле функция МЕСЯЦ возвращает значение 6, а функция ДЕНЬ возвращает значение 9. Затем функция ДАТА объединяет эти три значения в дату через три года: 09.06.2012.

Добавление комбинации дней, месяцев и лет к дате

Предположим, вы хотите добавить комбинацию дней, месяцев и лет к определенной дате.

1. org/ListItem»>

   На новом листе введите 09.06.2012 в ячейку A2.

2. В ячейке A4 введите =ДАТА(ГОД(A2)+3,МЕСЯЦ(A2)+1,ДЕНЬ(A2)+5) , а затем нажмите RETURN .

   Эта формула добавляет 3 года, 1 месяц и 5 дней к 6/9./2012, по результатам 14.07.2015.

3. В ячейке A5 введите =ДАТА(ГОД(A2)+1,МЕСЯЦ(A2)+7,ДЕНЬ(A2)+5) , а затем нажмите RETURN .

   Эта формула добавляет 1 год, 7 месяцев и 5 дней к 09.06.2012, чтобы получить результат 14.01.2014.

   В каждой формуле указанное количество лет, месяцев и дней добавляется к дате, содержащейся в ячейке A2.

   Например, в ячейке A5 функция ГОД используется для даты в ячейке A2 (09. 06.2012) и возвращает 2012 в качестве года. Затем формула добавляет 1 к значению года, в результате чего получается 2013 год. Функция МЕСЯЦ возвращает значение 6, и к этому значению добавляется 7 месяцев. Поскольку сумма 6 месяцев плюс 7 месяцев составляет 13 месяцев, функция ДАТА прибавляет 1 год к значению года, в результате чего получается 2014. Затем функция ДАТА вычитает 12 из значения месяца, в результате чего значение месяца равно 1. Функция ДЕНЬ возвращает значение 9, и к этому прибавляется 5 дней, в результате чего получается 14. Наконец, функция ДАТА объединяет эти три значения (2014, 1 и 14) в дату, которая через год, семь месяцев и 5 дней отстает на один год: 1/ 14/2014.

Двойное минус 1 — определение, пример, факты

Двойное минус 1

Различные стратегии сложения помогают нам лучше понимать числа и легко решать задачи. Это прививает нам способность складывать числа в уме. В этом уроке мы постараемся понять одну из таких стратегий сложения: удвоение минус один. Эта стратегия близка к фактам удвоения и известна как стратегия почти удвоения.

Связанные игры

Что такое двойные факты?

Чтобы удвоить число, мы можем сложить одно и то же число дважды. Факт двойного сложения — это математический факт, когда мы складываем два одинаковых числа. Давайте рассмотрим факт удвоения от $1$$ до $$10$.

Заметим, что удвоение или сумма двух одинаковых чисел всегда четны.

Понимание концепции двойных фактов поможет нам манипулировать числами и использовать различные стратегии для решения различных математических задач. Мы применяем этот факт, чтобы найти суммы для почти двойных фактов. Давайте погрузимся и узнаем, как складывать числа, используя стратегию удвоения минус 1.

Связанные листы

Что такое стратегия «двойной минус один»?

Теперь, когда мы распознали двойные числа, мы можем применить их для сложения двух последовательных чисел.

Давайте узнаем больше, помогая Чи. У Чи есть лоток с яйцами, в одном ряду которого 6 яиц, а в другом ряду 5 яиц. Помогите Чи найти, сколько яиц у него всего.

Чи хочет решить $6 + 5$. Мы можем найти общее количество, посчитав все яйца. Однако мы можем использовать наши знания о двойных фактах, чтобы быстро получить ответ.

Он знает, что когда в двух рядах лотков по шесть яиц, получается 12 яиц. Другими словами, 6 долларов + 6 = 12 долларов. Мы можем использовать этот «двойной факт», чтобы найти решение.

Мы знаем, что 5 на единицу меньше 6. Поскольку 6 + 6 = 12, 6 + 5 на единицу меньше, чем 6 + 6 или 12. Итак, 6 + 5 на единицу меньше, чем 12 или 11. Следовательно, У Чи 11 яиц.

Мы можем сложить два последовательных числа, используя стратегию двойной минус один. Это делается путем добавления большего числа дважды или удвоения его и вычитания из него единицы, чтобы получить окончательный ответ.

Например, используйте $8 + 8 = 16$, чтобы найти сумму 8 и 7. 

Поскольку 7 на единицу меньше, чем $8, 8 + 7 = 8 + 8$ $-$ $1 = 16$ $–$ $1 = 15$

Разница между удвоениями и стратегией удвоения минус один

Когда мы говорим о удвоениях, мы имеем в виду добавление числа к самому себе. Результирующий ответ, который мы получаем, называется двойным числом. Напротив, стратегия удвоения минус один — это способ получить сумму двух последовательных чисел. В этом процессе мы просто удваиваем большее из двух чисел и вычитаем из него единицу, чтобы получить сумму двух чисел.

Разница между удвоением плюс один и удвоением минус один

Мы также можем использовать стратегию почти удвоения для двух чисел, чтобы сложить их. Стратегии «двойной плюс один» и «двойной минус один» выводят сумму двух последовательных чисел. Давайте поймем их разницу на следующем примере.

Решенные примеры

1. Найдите 4 + 3, используя следующий факт.0003

Так как $4 + 4 = 8, 4 + 3 = 8$ $-$ $1 = 7$.

2. C дополните следующее предложение.

 $12 + 11 = 12 + 12$ $– \underline{}$

Решение: 

Так как 11 на единицу меньше 12. , $12 + 11 = 12 + 12$ $-$ $1$.

Следовательно, недостающее число равно 1.

3. Запишите двойной факт, который поможет вам решить следующую задачу.

В пруду плавали 7 уток. К ним присоединились еще 6 уток. Сколько уток сейчас в пруду?

Решение:

Чтобы найти общее количество уток, нам нужно решить $7 + 6$. Поскольку $7 + 6$ на единицу меньше, чем $7 + 7$, мы можем использовать двойной факт: $7 + 7 = 14$, чтобы решить эту проблему.

Поскольку 7 + 7 = 14, 7 + 6 = 14 $ $-$ 1 $ = 13 $

Практические задачи

1

Какое из следующего можно решить, используя следующий двойной факт?

$3 + 4$

$7 + 6$

$5 + 4$

$9 + 8$

Правильный ответ: $5 + 4$
Так как $5 + 6$ на единицу больше, а $5 + 4$ на единицу меньше указанного факта. Мы можем использовать этот факт для решения $5 + 6$ и $5 + 4$.

2

Если 7$ + 7 = 14$, что из следующего равно 7$ + 6$?

$14$ $–$ $1$

$14 + 1$

$14$ $–$ $6$

$14$ $–$ $7$

Правильный ответ: $14$ $–$ $1$
Поскольку $7 + 7 = 14, 7 + 6 = 7 + 7$ $–$ $1 = 14$ $–$ $1 = 13$

3

Какой факт удвоения поможет вам решить $9 + 8$, используя стратегию удвоения минус один?

$7 + 7$

$8 + 8$

$9 + 9$

$10 + 10$

Правильный ответ: $9 + 9$
$9 + 8$ на единицу меньше двойного числа $9$ или $9 + 9$.