Опубликовано Линия пересечения плоскостей онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Очистить все ячейки?
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения
Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α1 и α2:
| α1: A1x+B1y+C1z+D1=0, | (1) |
| α2: A2x+B2y+C2z+D2=0, | (2) |
где n1={A1, B1, C1} и n2={A2, B2, C2} − нормальные векторы плоскостей α1 и α2, соответственно.
Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α1 и α2. Для этого рассмотрим следующие случаи:
1. Нормальные векторы n
1 и n2 плоскостей α1 и α2 коллинеарны (Рис.1).Поскольку векторы n1 и n2 коллинеарны, то существует такое число λ≠0, что выполнено равенство n1=λn2, т.е. A1=λA2, B1=λB2, C1=λC2.
Умножив уравнение (2) на λ, получим:
| α2: A1x+B1y+C1z+λD2=0, | (3) |
Если выполненио равенство D1=λD2, то плоскости α1 и α2 совпадают, если же D1≠λD2то плоскости α1 и α2 параллельны, то есть не пересекаются.
2. Нормальные векторы n1 и n2 плоскостей α1 и α2 не коллинеарны (Рис.2).
Если векторы n1 и n2 не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:
Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.
Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n1={A1, B1, C1} и n2={A2, B2, C2} не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:
где x0, y0, z0, m, p, l действительные числа, а t − переменная.
Равенство (5) можно записать в следующем виде:
Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α1 и α2. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:
Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={1, 2, 1}. Плоскость α2 имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={2, 9, −5}.
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 неколлинеарны, то плолскости α1 и α2 пересекаются.
Для нахождения линии пересечения влоскостей α1 и α2 нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:
Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
Получим решение:
где t− произвольное действительное число.
Запишем (11) в следующем виде:
Получили уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α
2 в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:
Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α2имеет вид:
Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={1, 2, 7}. Плоскость α2 имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={2, 4, 14}.
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n2 на число 1/2), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.
Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α1 и α2 не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.
Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={5, −2, 3}. Плоскость α2 имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={15, −6, 9}.
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n
2 на число 1/3), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α2 умножив на число 1/3:
Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α1 и α2 совпадают.(1/2))
Канонический вид кривой и поверхности
Вы можете определить вид кривой и поверхности 2-го порядка онлайн с подробным решением:
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):- absolute(x)
- Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) - arccos(x)
- Функция — арккосинус от x
- arccosh(x)
- Арккосинус гиперболический от x
- arcsin(x)
- Арксинус от x
- arcsinh(x)
- Арксинус гиперболический от
- arctg(x)
- Функция — арктангенс от x
- arctgh(x)
- Арктангенс гиперболический от x
- exp(x)
- Функция — экспонента от x (что и e^x)
- log(x) or ln(x)
- Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) - sin(x)
- Функция — Синус от x
- cos(x)
- Функция — Косинус от x
- sinh(x)
- Функция — Синус гиперболический от x
- cosh(x)
- Функция — Косинус гиперболический от x
- sqrt(x)
- Функция — квадратный корень из x
- sqr(x) или x^2
- Функция — Квадрат x
- ctg(x)
- Функция — Котангенс от x
- arcctg(x)
- Функция — Арккотангенс от x
- arcctgh(x)
- Функция — Гиперболический арккотангенс от x
- tg(x)
- Функция — Тангенс от x
- tgh(x)
- Функция — Тангенс гиперболический от x
- cbrt(x)
- Функция — кубический корень из x
- gamma(x)
- Гамма-функция
- LambertW(x)
- Функция Ламберта
- Действительные числа
- вводить в виде 7.3
- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
Другие функции:
- asec(x)
- Функция — арксеканс от x
- acsc(x)
- Функция — арккосеканс от x
- sec(x)
- Функция — секанс от x
- csc(x)
- Функция — косеканс от x
- floor(x)
- Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
- ceiling(x)
- Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
- sign(x)
- Функция — Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (или интеграл вероятности)
- laplace(x)
- Функция Лапласа
- asech(x)
- Функция — гиперболический арксеканс от x
- csch(x)
- Функция — гиперболический косеканс от x
- sech(x)
- Функция — гиперболический секанс от x
- acsch(x)
- Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
- pi
- Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159..
- e
- Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
- i
- Комплексная единица
- oo
- Символ бесконечности — знак для бесконечности
Построение графика функции, заданной параметрически
Введите график функции
Важно a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться
Видео пример:
Построим график параметрической функции x=x(t) и y=y(t), которая задаёт прямую или кривую линию,
где параметр t лежит в промежутке [a, b],
и вы можете указать свои границы.
Задайте также функции x и y, зависящих от параметра.
Примеры кривых
| Название кривой | Уравнение |
|---|---|
| Окружность | x = sin(t) y = cos(t) t в [0, 2*pi] |
| Спираль | x = t*sin(t) y = t*cos(t) t в [0, 5*pi] |
| Дельтоида | x = 2*cos(t) + cos(2*t) y = 2*sin(t) - sin(2*t) t в [0, 2*pi] |
| Астроида | x = 2*sin(t)^3 y = 2*cos(t)^3 t в [0, 2*pi] |
| Гипоциклоиды | x = 20*(cos(t) + cos(5*t)/5) y = 20*(sin(t) - sin(5*t)/5) t в [0, 2*pi] |
x = 22/5*(cos(t) + 10*cos(11/10*t)/11) y = 22/5*(sin(t) - 10*sin(11/10*t)/11) t в [0, 20*pi] | |
x = 24.2
Другие функции:
Постоянные:
Автокад онлайн - чертить бесплатноПользователям, имеющим дело с системами автоматизированного проектирования и черчения (например, AutoCad), может понадобиться создание цифрового чертежа на компьютере, на котором не установлена ни одна из соответствующих программ. Что же делать в такой ситуации? Рекомендую воспользоваться набором сетевых сервисов, позволяющих чертить онлайн и бесплатно без необходимости устанавливать какой-либо стационарный софт на вашем ПК. В данном материале я расскажу, как воспользоваться Автокад онлайн, какие сетевые сервисы нам помогут, и как ими воспользоваться. Редактируем автокад онлайн Список топ-сервисов для работы с Автокад онлайнСразу замечу, что годами ранее существовавшая возможность запустить Автокад в режиме онлайн на сайте Autodesk.com (в форме известного AutoCAD WS), а далее пользоваться сетевым функционалом «Автокад» при создании 2D и 3D моделей ныне не доступна (имеется только мобильная версия AutoCAD WS для гаджетов). Потому рекомендую воспользоваться альтернативными, перечисленными ниже, сетевыми сервисами, позволяющими выполнить черчение онлайн.
LibreCad — это сервис для двумерного проектирования и черченияСреди богатства возможностей ресурса rollap.com имеется сервис, позволяющий создавать чертежи онлайн. Речь идёт о LibreCad – довольно удобном инструменте, позволяющим проводить 2Д черчение для профессиональных целей. Сервис позволяет работать с SVG, JPG, PNG, PDF файлами, чертить с помощью мышки и клавиатуры, использовать слои, блоки, сплайны, полилинии, имеет функцию текстового редактора и так далее.
Tinkercad - редактирует инженерные и строительные чертежи, схемы и планыСервис Tinkercad – это полезный сетевой сервис для 3Д-проектирования и печати, функционал которого доступен пользователям абсолютно бесплатно. Ресурс позиционируется как удобный инструмент для 3Д-моделирования, работать с ним могут даже новички, выполнять черчение онлайн здесь легко и удобно.
Рабочее окно Tinkercad Onshape позволяет работать с файлами .dwgАнглоязычный онлайн-сервис Onshape предлагает профессиональные решения для проектирования и создания чертежей в системе 3D-cad. К сожалению, бесплатный функционал сайта ограничен 21 днём бесплатного пользования, далее же за возможность создавать чертежи онлайн с помощью Onshape необходимо будет платить «живые» деньги. Для работы с Onshape перейдите на данный ресурс, нажмите на кнопку «I WANT TO TRY ONSHAPE» (если такой кнопки нет, просто перезагрузите главную страницу сайта).
Упрощённые сервисы для работы с AutoCADТакже для осуществления черчения онлайн могут помочь такие сервисы как drawisland.com и sketch.io. Функционал указанных сервисов довольно прост, и может пригодиться, скорее, для развлекательных и бытовых целей, нежели для профессионального черчения. Рабочее окно сервиса Drawisland ЗаключениеДля реализации возможностей Автокад онлайн рекомендую воспользоваться сервисами, указанными в данной статье. Они помогут бесплатно осуществить 2Д и 3Д черчение онлайн, обладают довольно обширным функционалом, включая возможность сохранения полученных результатов в облако и на жёсткий диск вашего ПК. Если у вас возникла насущная необходимость создания чертежа, и стационарной программы под рукой не оказалось, тогда рекомендую присмотреться к указанным выше ресурсам, они могут стать удобными онлайн-заменителями популярной стационарной программы AutoCad. Заказать чертежи по начертательной геометрии онлайнЕсли у вас нет времени на выполнение заданий по начертательной геометрии, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в whatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.Ответы на вопросы по заказу заданий по начертательной геометрии:Сколько стоит помощь?
Какой срок выполнения?
Если требуется доработка, это бесплатно?
Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?
Каким способом можно оплатить?
Какие у вас гарантии?
В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?
Содержание:
Основные задачи о прямых и плоскостяхУравнение прямой, проходящей через две точки.Пусть в пространстве задана общая декартова система координат и две точки \(M_{1}\) и \(M_{2}\) с координатами \((x_{1}, y_{1}, z_{1})\) и \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\). Чтобы написать уравнение прямой \(M_{1}M_{2}\), примем \(M_{1}\) за начальную точку, a \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) за направляющий вектор. Этот вектор не нулевой, если точки не совпадают. По формуле уравнения прямой в пространстве мы получаем В планиметрии задача решается также. Отличие только в том, что координаты точек теперь \((x_{1}, y_{1})\) и \((x_{2}, y_{2})\), и мы получаем по формуле для прямой на плоскости Уравнение плоскости, проходящей через три точки.Пусть \(M_{1}\), \(M_{2}\) и \(M_{3}\) — не лежащие на одной прямой точки с координатами \((x_{1}, y_{1}, z_{1})\), \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) и \((x_{3}, y_{3}, z_{3})\) в общей декартовой системе координат. Выберем \(M_{1}\) в качестве начальной точки, a \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) и \(\overrightarrow{M_{1}M_{3}}\) в качестве направляющих векторов. Тогда по формуле о компланарности прямой и плоскости и формуле для выражения смешанного произведения через координаты получаем уравнение плоскости Параллельность прямой и плоскости.Пусть известен направляющий вектор прямой \(\boldsymbol{a}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})\), а плоскость задана одним из уравнений \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})=0\) или \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})=0\). Прямая параллельна плоскости (а возможно, и лежит в ней) тогда и только тогда, когда соответственно \((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}=0)\) или \((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}=0)\). Если плоскость задана линейным уравнением \(Ax+By+Cz+D=0\), то по утверждению 5, доказанному ранее, условие параллельности — Пусть прямая задана системой уравнений A\begin{vmatrix} B_{1}& C_{1}\\ B_{2}& C_{2} \end{vmatrix} + B\begin{vmatrix} C_{1}& A_{1}\\ C_{2}& A_{2} \end{vmatrix} + C\begin{vmatrix} A_{1}& B_{1}\\ A_{2}& B_{2} \end{vmatrix} = 0.\nonumber $$ или $$ \begin{vmatrix} A& B& C\\ A_{1}& B_{1}& C_{1}\\ A_{2}& B_{2}& C_{2} \end{vmatrix} = 0.\label{ref4} $$ Легко проверить, что все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными. Из формулы \eqref{ref4} следует, что три плоскости пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда коэффициенты их уравнений удовлетворяют условию Полупространство.Определение. Пусть даны плоскость \(P\) и определенный ее нормальный вектор \(\boldsymbol{n}\). Полупространством, определяемым \(P\) и \(\boldsymbol{n}\), называется множество точек \(M\) таких, что для некоторой точки \(M_{0}\) на плоскости вектор \(\overrightarrow{M_{0}M}\) составляет с \(\boldsymbol{n}\) угол, не больший \(\pi/2\). Если \(\boldsymbol{r}\) — радиус-вектор точки \(M\), а \(\boldsymbol{r}_{0}\) — точки \(M_{0}\), то определение полупространства, эквивалентно неравенству \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}) \geq 0\). Это неравенство и есть уравнение полупространства. Нетрудно проверить, что определение полупространства не зависит от выбора точки \(M_{0}\). Действительно, если \(M_{1}(\boldsymbol{r}_{1})\) — другая точка плоскости, то вектор \(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{0}\) лежит в плоскости, перпендикулярен \(\boldsymbol{n}\), и мы имеем Мы получим уравнение полупространства в координатной форме, если вспомним, что согласно утверждению 3 отсюда выражение \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})\) в координатах записывается линейным многочленом \(Ax+By+Cz+D\). Итак, полупространство в декартовой системе координат задается линейным неравенством Плоскость \(P\) и вектор \(\boldsymbol{n}_{1} =-\boldsymbol{n}\) задают другое полупространство с уравнением \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}_{1}) \geq 0\) или \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}) \leq 0\). Его назовем “отрицательным”, в отличие от “положительного” полупространства \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n}) \geq 0\). Однако такое наименование условно — оно определяется выбором вектора \(\boldsymbol{n}\). Изменение направления этого вектора равносильно умножению уравнения плоскости на (—1). При этом “положительное” полупространство становится “отрицательным”, и наоборот. Вот, однако, факт, не зависящий от выбора направления нормального вектора: если \(M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})\) и \(M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2})\) две точки, не лежащие в плоскости, то результаты подстановки их координат в левую часть уравнения плоскости \(Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D\) и \(Ax_{2}+By_{2}+Cz_{2}+D\) имеют один знак тогда и только тогда, когда точки лежат в одном полупространстве. Для решения задач бывает полезно следующее замечание: если точка \(M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})\) лежит на плоскости, то точка с координатами \(x_{0}+A\), \(y_{0}+B\), \(z_{0}+C\) лежит в “положительном” полупространстве. Иначе говоря, вектор с координатами \(A, B, C\) направлен в “положительное” полупространство. Это легко проверяется подстановкой. Вполне аналогично сказанному о полупространствах мы можем определить, что такое полуплоскость, и доказать, что неравенство \(Ax+By+Cz+D \geq 0\), связывающее декартовы координаты точки на плоскости, определяет полуплоскость. Вторая полуплоскость, ограниченная прямой \(Ax+By+C=0\), задается неравенством \(Ax+By+C \leq 0\). Точки \(M_{1}(x_{1}, y_{1})\) и \(M_{2}(x_{2}, y_{2})\) лежат по одну сторону от прямой тогда и только тогда, когда \((Ax_{1}+By_{1}+C)(Ax_{2}+By_{2}+C) > 0\). Расстояние от точки до плоскости.Пусть дана плоскость с уравнением \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})=0\) и точка \(M\) с радиус-вектором \(R\).{2}}}.\label{ref7} Расстояние от точки до прямой.Если прямая задана уравнением \([\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}]=0\), то мы можем найти расстояние \(h\) от точки \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol{R}\) до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}\) и \(\boldsymbol{a}\), на длину его основания (рис. 7.2). Результат можно записать формулой Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением \(Ax+By+C=0\) в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) — начальная точка прямой, a \(M(X, Y)\) — некоторая точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем вектор \(\boldsymbol{a}(-B, A)\).{2}}}.\label{ref9} Легко заметить также, что для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости можно воспользоваться формулой \eqref{ref6}, считая, что \(\boldsymbol{n}\) — нормальный вектор прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми.Пусть прямые \(p\) и \(q\) не параллельны. Известно, что в этом случае существуют такие параллельные плоскости \(P\) и \(Q\), что прямая \(p\) лежит в \(P\), а прямая \(q\) лежит в \(Q\). (Если уравнения прямых \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{1}+\boldsymbol{a}_{1}t\) и \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{2}+\boldsymbol{a}_{2}t\), то плоскость \(P\) имеет начальную точку гд и направляющие векторы \(\boldsymbol{a}_{1}\) и \(\boldsymbol{a}_{2}\). Аналогично строится плоскость \(Q\).) Расстояние \(h\) между \(P\) и \(Q\) называется расстоянием между прямыми \(p\) и \(q\). Если \(p\) и \(q\) пересекаются, то \(P\) и \(Q\) совпадают и \(h=0\). Для того чтобы найти расстояние \(h\), проще всего разделить объем параллелепипеда, построенного на векторах \(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\), \(\boldsymbol{a}_{1}\) и \(\boldsymbol{a}_{2}\), на площадь его основания (рис. 7.3). Мы получим Утверждение 1. Прямые линии с уравнениями \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{1}+\boldsymbol{a}_{1}t\) и \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{2}+\boldsymbol{a}_{2}t\) пересекаются тогда и только тогда, когда \(h=0\), то есть Вычисление углов.Чтобы найти угол между двумя прямыми, следует найти их направляющие векторы и вычислить косинус угла между ними, используя скалярное произведение. При этом следует иметь в виду, что, изменив направление одного из векторов, мы получим косинус смежного угла. Для нахождения угла между прямой и плоскостью определяют угол \(\theta\) между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Если векторы выбрать так, чтобы \(\cos \theta \geq 0\), и взять \(0 \leq \theta \leq \pi/2\), то искомый угол дополняет \(\theta\) до \(\pi/2\). Угол между плоскостями находят как угол между их нормальными векторами. Полезна бывает формула для угла между прямыми линиями на плоскости, заданными уравнениями \(y=k_{1}x+b_{1}\) и \(y=k_{2}x+b_{2}\) декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через \(\varphi\) угол между прямыми, отсчитываемый от первой прямой ко второй в том же направлении, в котором производится кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму. Тогда \(\operatorname{tg} \varphi\) можно найти как тангенс разности углов, которые прямые составляют с осью абсцисс. Так как тангенсы этих углов равны угловым коэффициентам прямых, мы получаем Конечно, эта формула не имеет смысла, когда знаменатель дроби обращается в нуль. В этом случае прямые перпендикулярны. Действительно, векторы с компонентами \(1, k_{1}\) и \(1, k_{2}\) — направляющие векторы прямых, и их скалярное произведение равно \(1+k_{1}k_{2}\). Таким образом, верно следующее утверждение. Утверждение 2. Для перпендикулярности прямых с угловыми коэффициентами \(k_{1}\) и \(k_{2}\) в декартовой прямоугольной системе координат необходимо и достаточно выполнение равенства \(1+k_{1}k_{2}=0\). Некоторые задачи на построение.Перпендикуляр из точки на плоскость. Проекция точки.Если \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{n})=0\) — уравнение плоскости и дана точка \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol{R}\), то прямая с уравнением \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{R}+t\boldsymbol{n}\) проходит через \(M\) и перпендикулярна плоскости. Решая совместно уравнения прямой и плоскости, найдем ортогональную проекцию \(M\) на плоскость. Из \((\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}+t\boldsymbol{n}, \boldsymbol{n})\) находим \(t\) и подставляем в уравнение прямой.{2}}\boldsymbol{n}.\nonumber Перпендикуляр из точки на прямую.Пусть прямая задана уравнением \([\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}]=0\) и дана точка \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol{R}\). Вектор \(\boldsymbol{p}=[\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}]\) перпендикулярен плоскости, проходящей через прямую и точку \(M\). Если точка не лежит на прямой, то \(\boldsymbol{p} \neq 0\), и вектор \([\boldsymbol{a}, \boldsymbol{p}]=[\boldsymbol{a}, [\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}]]\) также ненулевой и перпендикулярен \(\boldsymbol{a}\) и \(\boldsymbol{p}\). Следовательно, он лежит в указанной плоскости и перпендикулярен прямой. Итак, получено уравнение Применив формулу двойного векторного произведения, вы заметите, что \([\boldsymbol{a}, \boldsymbol{p}]\) коллинеарен разности вектора \(\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}_{0}\) и его проекции на вектор \(\boldsymbol{a}\). Задачу можно было решить, заметив это свойство направляющего вектора перпендикуляра. Уравнение проекции прямой на плоскость.Его просто получить, если не требуется находить направляющий вектор и начальную точку. Пусть заданная плоскость имеет уравнение \((\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})+D=0\), а прямая — уравнение \([\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}]\), причем \([\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}] \neq 0\). Тогда плоскость \((\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})=0\) проходит через прямую перпендикулярно заданной плоскости. Таким образом, проекция прямой может быть задана системой из двух уравнений: Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.Пусть прямые с уравнениями \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{1}+t\boldsymbol{a}_{1}\) и \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{2}+t\boldsymbol{a}_{2}\) не параллельны, то есть \([\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}] \neq 0\). Вектор \(\boldsymbol{p}=[\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}]\) перпендикулярен обеим прямым. Следовательно, плоскость Доказательство. Докажем сначала, что коэффициенты при переменных в уравнении \eqref{ref13} не равны нулю одновременно. Для этого перепишем его в виде Обозначим через \(x_{0}\), \(y_{0}\) координаты центра пучка. По условию Если нам известны координаты центра пучка, то уравнение пучка можно написать в виде Систему из уравнений прямых, определяющих пучок, можно рассматривать как уравнение центра пучка. Поэтому уравнение каждой прямой пучка есть следствие этой системы. Теперь наш результат можно сформулировать так. Утверждение 4. Если система линейных уравнений имеет решение., то некоторое линейное уравнение является ее следствием тогда и только тогда, когда оно есть сумма уравнений системы, умноженных на какие-то числа. Мы доказали это предложение для частного случая систем из двух уравнений с двумя неизвестными.{l_{s}}=0.\label{ref16} Может, конечно, случиться, что все коэффициенты этого уравнения равны нулю, и оно представляет собой тождество. Если исключить этот случай, то число корней уравнения и, следовательно, число точек пересечения не превосходит порядка линии. Таким образом, мы доказали следующее утверждение. Утверждение 5. Число точек пересечения алгебраической линии с прямой, которая на ней не лежит целиком, не превосходит порядка линии. Существуют линии, которые ни с одной прямой не имеют в принципе возможного числа точек пересечения, равного порядку линии. Примерами могут служить линии с уравнениями \(x^{2}+y^{2}=0\) или \((x^{2}+y^{2})^{2}-1=0\). Пример. Архимедова спираль — линия с уравнением \(r=\alpha\varphi\) в полярной системе координат — пересекает каждую прямую, проходящую через полюс, в бесконечном числе точек. Следовательно, она не является алгебраической линией. Онлайн-калькулятор проекции вектораПроекция вектора к оси l называется скаляром, который равен длине отрезка A л B л , а точка А л это проекция точки А в направлении ось l, точка В л это проекция точки B в направлении ось l: Из элементарных геометрических соображений следует: пр л знак равно A л B л = AB ∙ cos α = | | ∙ cos α Вычислить проекцию произвольного вектора очень просто. к любой оси декарта, например, -ось.Здесь у нас есть cos α это направленный косинус вектора : прxaacosαax Следовательно, проекция произвольного вектора на оси декарта равна соответствующей координате вектора. Немного сложно рассчитать проекцию абстрактного вектора к произвольной оси или произвольному вектору .В этом случае нам нужно вычислить угол между соответствующими векторами, что можно сделать, используя формула скалярного произведения векторов: прbaacosφaabababb , где φ - угол между векторами и . Наш онлайн-калькулятор может бесплатно найти проекцию одного произвольного вектора на другой вектор произвольности с пошаговым решением. Мастер проецированияОб этом инструментеProjection Wizard - это веб-приложение, которое помогает картографам выбрать подходящую проекцию для своей карты. В зависимости от экстента и свойства искажения карты приложение возвращает список предлагаемых картографических проекций с дополнительными параметрами проекции, если это необходимо. Рядом с каждой проекцией есть ссылки PROJ и WKT, которые открывают всплывающее окно со строкой PROJ или общеизвестным текстом, доступной для копирования в буфер обмена.Обе строки используются во многих картографических и ГИС-приложениях. Projection Wizard отображает предварительный просмотр карты в правой части списка с предлагаемой проекцией. Предварительный просмотр показывает, как будут выглядеть проецируемые данные с использованием D3. Этот инструмент основан на руководстве по выбору Джона П. Снайдера и на дополнении к этому руководству для карт мира и полушария, написанному Группой картографии и геовизуализации в Университете штата Орегон. Projection Wizard v2.0 также учитывает результаты исследования, опубликованного Шавричем и др. .в 2015 году. Все публикации, относящиеся к Projection Wizard , перечислены внизу этой страницы. Когда вы публикуете научную статью, в которой используется Projection Wizard или обсуждаете его функциональные возможности, вас просят процитировать следующую статью: Šavrič, B., Jenny, B. and Jenny, H. (2016). Projection Wizard - онлайн-инструмент для выбора проекции карты. Картографический журнал, 53–2, с. 177–185. Doi: 10.1080 / 00087041.2015.1131938. Как использовать этот инструмент?Использование Projection Wizard прост и требует всего двух шагов: 1 В списке переключателей выберите свойство искажения карты. 2 Выберите географический экстент, используя поля ввода в левой части карты или изменив прямоугольник на карте. Якоря в углах прямоугольника позволяют изменять его размер. Прямоугольник также можно перемещать по карте. Любое изменение прямоугольника отражается в полях ввода и наоборот. При изменении свойства прямоугольника или искажения интерактивно обновляется список предлагаемых проекций карты и предварительный просмотр карты под веб-картой. a Кнопка Select Current Visible Area регулирует размер прямоугольника в соответствии с текущим видом карты, выбирая примерно 80% видимой карты. b Кнопка Выбрать весь мир устанавливает размер прямоугольника в полный размер. c Кнопка «Показать весь мир» полностью уменьшает масштаб. d Кнопка Customize открывает диалоговое окно Projection Wizard Options , которое позволяет пользователю изменять инструмент. Настройка этого инструментаДиалоговое окно Projection Wizard Options позволяет модифицировать инструмент в соответствии с вашими потребностями. Параметры влияют на параметры проекции, элементы в строках PROJ и WKT и предварительный просмотр карты. Вы можете: Переключение между десятичными градусами и форматами DMS для угловых единиц, B округлить значение центрального меридиана до ближайшего градуса, C выберите систему географических координат для o Сравните картографические проекции Последнее обновление: 24 декабря 2020 г. Что? Этот сайт посвящен картографическим проекциям, в частности
о проекциях карты мира. Почему? Иногда две картографические проекции могут выглядеть настолько похожими, что трудно заметить разницу. Для получения более подробной информации о духе и цели этого веб-сайта прочтите Что все это значит? Как?Чтобы выбрать два прогноза, которые вы хотите сравнить, у вас есть четыре варианта:
Если вы не знакомы с названиями картографических проекций, вариантов нет. 3 и 4 могут быть лучшими для вас. А потом? Две выбранные вами проекции будут сравниваться в трех (простом режиме) соотв. восемь (экспертный режим) разных
способами. Меня сбивают с толку эти разные сравнения! Прочтите короткие подсказки! Одноместный Если вы не хотите сравнивать, а лучше просматривать прогнозы по отдельности, перейдите к
Однопрофильный разрез. Есть ли здесь информации о картографических проекциях?Если вы пришли сюда в поисках информации о картографических проекциях - ну да, здесь вы найдете некоторые основы: Тем не менее, я очень рекомендую сайт, который указан в разделе Ссылки! Они более обширны, точны и лучше написаны, чем мои собственные статьи. История изменений24 декабря 2020 г.Я добавил 14 прогнозов, разработанных в 1971 году Неделько Франчулой, а также мой собственный эксперимент, основанный на одном из них. Видеть Прогнозы Франчулы. 3 февраля 2020 г.Добавлен лентикулярный Wagner II - мой собственный небольшой эксперимент, который я представил 15 января. в блоге. 1 янв.2020 г. Новинка: Бертен-Ривьер и Дьерфи Э. Новые варианты прогнозов, которые уже перечислены, с некоторыми корректировками. 3 июня 2019 г. Шесть новых проекций, четыре из них конформного многогранного типа. 15 янв.2019 г. Добавлены еще два варианта Вагнера. 4 янв.2019 г. Четыре новых многогранных проекции, сопровождающее обновление блока фильтров на веб-сайте. 26 ноя.2018 г.28 августа 2018
6 августа 2018 Добавлены другие проекции равной площади, сделанные Стребом 1992 года. 6 июня 2018 г. Небольшое расширение WVG-7 и
реализация Customizable Wagner VII для
d3js.орг. 01 янв.2018 г.
27 октября 2017 г.18 сен.2017
12 апреля 2017 г.
17 марта 2017 г.
28 февраля 2017 г.
20 февраля 2017 г.
9 февраля 2017 г.В этом году исполняется 111.годовщина со дня рождения Карлхайнца Вагнера. Давайте отметим этот день рождения рептилии новостью о Вагнере:
Как правильно выбрать проектор для проецирования?Вы думаете приобрести видеопроектор, чтобы заняться видеомэппингом? Потрясающе! Это руководство расскажет вам все, что вам нужно знать, чтобы выбрать правильное оборудование в соответствии с вашими потребностями. Первый вопрос, который вы должны задать себе, следующий: где вы планируете использовать проектор? Ваши варианты включают небольшие пространства, такие как бары или небольшие музыкальные площадки, большие общественные пространства, такие как клубы и фестивали, или на открытом воздухе для более монументальной проекции. Чтобы выбрать правильный видеопроектор, необходимо знать об ограничениях, связанных с самим местоположением. Еще одна вещь, которую следует учитывать, - это, конечно, ваш собственный бюджет.Хотя технически возможно выполнять видеомэппинг с помощью большинства видеопроекторов, представленных на рынке, наши советы позволят вам сделать осознанный выбор, лучше понимая особенности вашего будущего проектора. Это руководство также призвано объяснить основы проецирования. Однако знайте, что мы всегда готовы помочь вам и ответить на любые вопросы, которые могут у вас возникнуть относительно вашего проекта. Мы рады порекомендовать лучший проектор, соответствующий вашим потребностям. ЗАПРОСИТЬ ПОМОЩЬ Ключевые факторы, которые следует учитыватьУсловия освещения Уровень освещенности области, в которой должно быть выполнено картографирование, является фундаментальным фактором, поскольку условия освещения играют важную роль в качестве проецируемого изображения. -> Таким образом, вам следует выбрать достаточно темную среду без прямого света, попадающего в зону вашей проекции. Пример внутренней проекции от Dejha Ti для проекта «Логова». Размер изображения и проекционное соотношениеРазмер изображения и расстояние проецирования связаны очень простой математической формулой: Это проекционное отношение связано с каждым типом видеопроектора.Это число от 0,3 до 12. Чем больше это число, тем больше расстояние броска. Благодаря этой формуле и зная два параметра, вы можете легко узнать, что такое третий параметр. Давайте посмотрим на несколько примеров ниже. Пример 1: Какой видеопроектор выбрать в зависимости от конкретной конфигурации? «Я хочу, чтобы мое проецируемое изображение было шириной 3 метра, а мое максимальное расстояние проекции - 4 метра. Поэтому мне нужно выяснить, какое соотношение лучше всего, чтобы выбрать подходящий проектор.Здесь: проекционное отношение = 4/3 = 1,33 Пример 2: Как узнать возможный размер изображения в зависимости от моего видеопроектора и известного проекционного расстояния? «Я проектирую расстояние 4 метра, а коэффициент передачи проектора - 0,8. Я хотел бы знать, какой размер мог бы когда-то проецироваться мое изображение. -> Эта формула - ключ к успешному проекту видеомэппинга! Если вы хотите пойти дальше, наш партнер Optoma, производитель видеопроекторов, создал очень точный расчетный инструмент для всех своих проекторов. Это поможет вам заранее спланировать отображение видео, а также сэкономит время. Пример расчета для проектора Optoma EH504. Материал вашей проекционной поверхностиМатериал вашей проекционной поверхности также является важным фактором.Вы должны выбрать светлую поверхность и матовые материалы, чтобы уменьшить отражение света. Если вы выберете более блестящую поверхность, качество изображения снизится, и вы увидите отражение света проектора. Этого следует избегать, чтобы добиться лучших результатов. Совет. При использовании видеопроектора с коротким фокусным расстоянием (с проекционным соотношением менее 0,5) мы рекомендуем избегать гибких поверхностей для проецирования, например ткани. Это связано с тем, что даже небольшое движение проекционной поверхности может исказить ваше изображение. Мы советуем вам бесплатно попробовать HeavyM, нашу программу для создания карт проекций. Создание потрясающих картографических проектов занимает всего несколько минут. ПОПРОБОВАТЬ HEAVYM БЕСПЛАТНО Характеристики видеопроектораСветимость Яркость описывает количество света, излучаемого видеопроектором. Он измеряется в люменах. Большое количество люменов означает, что проектор более мощный.Как упоминалось ранее, одной мощи недостаточно. Вам также необходимо принять во внимание все ограничения конкретного проекта, поскольку они могут снизить объективную мощность проектора, такую как уровни освещенности в месте, ожидаемый размер изображения и материал проекционной поверхности. Примечание: видеомэппинг должен производиться в темных местах или ночью. Сделать видеомэппинг при дневном свете невозможно даже при 20000 люмен 🙂 Коэффициент контрастностиУровни контрастности связаны с разницей в яркости между белым и черным (отсутствие цвета).Ни один видеопроектор не может проецировать идеальный черный цвет - этот цвет обычно заменяется очень темно-серым. Контрастность описывается соотношением, например 500: 1. Чем больше разница между обоими числами, тем лучше контраст. Следовательно, 1000: 1 обеспечивает лучший уровень контрастности, чем 500: 1. -> Обратите внимание, что хороший коэффициент контрастности - это еще не все, поскольку на него может влиять уровень освещенности. Если в комнате очень светло, проецируемое изображение будет блеклым даже при контрастности 20 000: 1. РазрешениеРазрешение проектора - это количество пикселей по бокам и сверху вниз, составляющее проецируемое изображение. Большое количество пикселей означает, что изображение будет более точным. Низкое количество пикселей означает, что их будет труднее различить невооруженным глазом. Разрешение проектора должно быть максимально приближено к разрешению изображения. Если вы хотите проецировать контент в формате Full HD (1080p), это означает, что вашему проектору также необходимо разрешение Full HD.Если вы используете проектор более мощный (например, 4k), это приведет к неутешительному результату. -> Для получения четких результатов мы рекомендуем использовать изображения и видеопроектор с разрешением не менее 720p (HD). Также следует отметить, что независимо от разрешения на негладких поверхностях пиксели могут выглядеть больше и, следовательно, более заметными. Вы всегда должны стараться найти лучшее место для вашего проектора, чтобы не искажать изображение. Визуальное сравнение различных разрешений.
Важно знать, какой длины должен быть кабель: использование очень длинных кабелей (длиннее 10-20 метров) может привести к ухудшению качества проецирования, поскольку сигнал будет слабее. Чтобы избежать этого, вы можете использовать повторители для усиления сигнала. |