Опубликовано Онлайн сокращение дробей с буквами и степенями. Сокращение дробей, определение и формула
Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления.
В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).
Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 — делимое , 4 — делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, — остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.
Остаток всегда меньше делителя.
Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать
так: 64 = 32 * 2.
Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток.
Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.
Числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель.
Поскольку числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».
Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m — делимое, а
знаменатель п — делитель:
\(m:n = \frac{m}{n} \)
Верны следующие правила:
Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.
Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.
Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель
дроби, которая выражает эту часть.
Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)
Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби .
Два последних преобразования называют сокращением дроби .
Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например,
дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы.
Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались
для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими
дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби,
у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых
числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .
Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.
Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .
Например:
\(5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 — целая часть, а \(\frac{2}{3} \) — дробная часть.
Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель
разделить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)
Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её
знаменатель умножить на это число:
Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.
Действия с дробями. Сложение дробей.
С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)
Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.
Сложение смешанных дробей
Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) — ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».
При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)
Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \).
Вычитание дробей (дробных чисел)
Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит
найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель
оставить прежним.
С помощью букв это правило записывается так:
\(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)
Умножение дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.
С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:\(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)
Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать
смешанные дроби.
Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби.
Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.
Деление дробей
Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).
Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют взаимно обратными .
Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).
С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)
Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 .
Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)
Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.
Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.
Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)
Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.
Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.
Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3.
В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.
К этому же ответу можем прийти другим путем.
И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.
И еще один вариант решения.
В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.
Калькулятора онлайн выполняет сокращение алгебраических дробей в соответствии с правилом сокращения дробей: замена исходной дроби равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем, т.е. одновременное деление числителя и знаменателя дроби на их общий наибольший общий делитель (НОД). Также калькулятор выводит подробное решение, которое поможет понять последовательность выполнения сокращения.
Дано:
Решение:
Выполнение сокращения дробей
проверка возможности выполнения сокращения алгебраической дроби
1) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби
определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя алгебраической дроби
2) Сокращение числителя и знаменателя дроби
сокращение числителя и знаменателя алгебраической дроби
3) Выделение целой части дроби
выделение целой части алгебраической дроби
4) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь
перевод алгебраической дроби в десятичную дробь
Помощь на развитие проекта сайт
Уважаемый Посетитель сайта.
Если Вам не удалось найти, то что Вы искали — обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.
Если же сайт оказался Ваме полезен — подари проекту сайт всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.
Спасибо, что не прошели мимо!
I. Порядок действий при сокращении алгебраической дроби калькулятором онлайн:
- Чтобы выполнить сокращение алгебраической дроби введите в соответствующие поля значения числителя, знаменателя дроби. Если дробь смешанная, то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если дробь простая, то оставьте поле целой части пустым.
- Чтобы задать отрицательную дробь, поставьте знак минус в целой части дроби.
- В зависимости от задаваемой алгебраической дроби автоматически выполняется следующая последовательность действий:
- определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби ;
- сокращение числителя и знаменателя дроби на НОД ;
- выделение целой части дроби , если числитель итоговой дроби больше знаменателя.
- перевод итоговой алгебраической дроби в десятичную дробь с округлением до сотых.
II. Для справки:
Дробь — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Обыкновенная дробь (простая дробь) записывается в виде двух чисел (числитель дроби и знаменатель дроби), разделенных горизонтальной чертой (дробной чертой), обозначающей знак деления.
числитель дроби — число, стоящее над дробной чертой. Числитель показывает, сколько долей взяли у целого.
знаменатель дроби — число, стоящее под дробной чертой. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое.
простая дробь — дробь, не имеющая целой части. Простая дробь может быть правильной или неправильной.
правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому правильная дробь всегда меньше единицы. Пример правильных дроби: 8/7, 11/19, 16/17.
неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей.
Пример неправильных дроби: 7/6, 8/7, 13/13.
смешанная дробь — число, в состав которого входит целое число и правильная дробь, и обозначает сумму этого целого числа и правильной дроби. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь. Пример смешанных дробей: 1¼, 2½, 4¾.
III. Примечание:
- Блок исходных данных выделен желтым цветом , блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом , блок решения выделен зеленым цветом .
- Для сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных или смешанных дробей воспользуйтесь онлайн калькулятором дробей с подробным решением.
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице.
В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
\(\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}\)
Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac{9}{15}\)
Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.
\(\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}=\frac{3}{5} \times \color{red} {\frac{3}{3}}=\frac{3}{5} \times 1=\frac{3}{5}\)
Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac{3}{5}\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.
\(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)
Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.
Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.
Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.
Получите несократимую дробь \(\frac{48}{136}\).
Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{48}{136}=\frac{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 2 \times 3}{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 17}=\frac{\color{red} {6} \times 2 \times 3}{\color{red} {6} \times 17}=\frac{2 \times 3}{17}=\frac{6}{17}\)
Правило сокращения дроби до несократимого вида.
- Нужно найти наибольший общий делитель для числители и знаменателя.
- Нужно поделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель в результате деления получить несократимую дробь.
Пример:
Сократите дробь \(\frac{152}{168}\).
Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{152}{168}=\frac{\color{red} {6} \times 19}{\color{red} {6} \times 21}=\frac{19}{21}\)
Ответ: \(\frac{19}{21}\) несократимая дробь.
Сокращение неправильной дроби.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.
Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac{44}{32}\).
Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.
\(\frac{44}{32}=\frac{\color{red} {2 \times 2 } \times 11}{\color{red} {2 \times 2 } \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{8}\)
Сокращение смешанных дробей.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac{30}{45}\).
Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.
\(2\frac{30}{45}=2\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3}}{3 \times \color{red} {5 \times 3}}=2\frac{2}{3}\)
Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
\(2\frac{30}{45}=\frac{45 \times 2 + 30}{45}=\frac{120}{45}=\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3} \times 2 \times 2}{3 \times \color{red} {3 \times 5}}=\frac{2 \times 2 \times 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\)
Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .
Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
\(\frac{50+\color{red} {20}-10}{\color{red} {20}}=\frac{60}{20}=\frac{3 \times 20}{20}=\frac{3}{1}=3\)
На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя.
Например, дробь \(\frac{100}{150}\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{3 \times 50}=\frac{2}{3}\)
Получили несократимую дробь \(\frac{2}{3}\).
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{2 \times 75}=\frac{50}{75}\)
Получили сократимую дробь \(\frac{50}{75}\).
Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример:
Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):
\(\frac{8}{12}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{2}{3} \times 1=\frac{2}{3}\)
Отсюда получаем, \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac{90}{65}\) б) \(\frac{27}{63}\) в) \(\frac{17}{100}\) г) \(\frac{100}{250}\)
Решение:
а) \(\frac{90}{65}=\frac{2 \times \color{red} {5} \times 3 \times 3}{\color{red} {5} \times 13}=\frac{2 \times 3 \times 3}{13}=\frac{18}{13}\)
б) \(\frac{27}{63}=\frac{\color{red} {3 \times 3} \times 3}{\color{red} {3 \times 3} \times 7}=\frac{3}{7}\)
в) \(\frac{17}{100}\) несократимая дробь
г) \(\frac{100}{250}=\frac{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 2}{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 5}=\frac{2}{5}\)
Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру.
Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.
Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.
Базовые знания
Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.
Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.
Правила сокращения обыкновенных дробей
Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот.
Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.
Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.
Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.
Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?
Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.
Для этого потребуется выполнить несколько действий.
Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.
Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.
Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.
Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.
Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.
Последовательность действий с дробями со степенями
Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними.
Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.
Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.
Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.
Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.
Приведение дробей к общему знаменателю. Онлайн калькулятор
- Общий знаменатель обыкновенных дробей
- Приведение дробей к общему знаменателю
- Калькулятор приведения к общему знаменателю
Общий знаменатель обыкновенных дробей
Если обыкновенные дроби имеют одинаковые знаменатели, то про эти дроби говорят, что они имеют общий знаменатель.
Например, дроби
и
имеют общий знаменатель 7.
Общий знаменатель — это число, которое является знаменателем для двух и более обыкновенных дробей.
Дроби, имеющие разные знаменатели, можно привести к общему знаменателю.
Приведение дробей к общему знаменателю
Приведение дробей к общему знаменателю — это замена данных дробей, имеющих разные знаменатели, на равные им дроби, у которых одинаковые знаменатели.
Дроби можно привести либо просто к общему знаменателю, либо к наименьшему общему знаменателю.
Наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю нужно:
- Выполнить сокращение дробей, если это возможно.
- Найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Именно НОК и станет их наименьшим общим знаменателем.
- Разделить НОК на знаменатели данных дробей. Этим действием мы находим дополнительный множитель для каждой из данных дробей. Дополнительный множитель — это число, на которое надо умножить члены дроби, чтобы привести её к общему знаменателю.
- Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.
Этим действием мы находим дополнительный множитель для каждой из данных дробей. Дополнительный множитель — это число, на которое надо умножить члены дроби, чтобы привести её к общему знаменателю.Пример. Привести к общему знаменателю дроби и .
Решение:
- Находим НОК знаменателей данных дробей:
НОК (8, 12) = 24.
- Находим дополнительные множители:
24 : 8 = 3 (для )
и
24 : 12 = 2 (для ).
- Умножаем члены каждой дроби на свой дополнительный множитель:
Приведение к общему знаменателю можно записывать в более краткой форме, указывая дополнительный множитель рядом с числителем каждой дроби (сверху справа или сверху слева) и не записывая промежуточные вычисления:
К общему знаменателю можно привести и более простым способом, умножив члены первой дроби на знаменатель второй дроби, а члены второй дроби — на знаменатель первой.
Пример. Привести к общему знаменателю дроби и :
В качестве общего знаменателя дробей можно взять произведение их знаменателей.
Приведение дробей к общему знаменателю используется при сложении, вычитании и сравнении дробей, у которых разные знаменатели.
Калькулятор приведения к общему знаменателю
Данный калькулятор поможет вам привести обыкновенные дроби к наименьшему общему знаменателю. Просто введите две дроби и нажмите кнопку Привести
.
Сокращение простых и сложных дробей с помощью пошагового решения математических задач
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ
Произведение двух дробей определяется следующим образом.
Произведением двух дробей называется дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей.
В символах
Любой общий множитель, встречающийся как в числителе, так и в знаменателе любой дроби, может быть разделен до или после умножения.
Пример 1 Найдите произведение
Решение
Те же самые процедуры применимы к дробям, содержащим переменные.
Пример 2 Найдите произведение числа
Решение Сначала разделим числитель и знаменатель на общие множители, чтобы получить
Теперь, умножая остальные множители числителей и знаменателей, получаем
Если отрицательный знак при любом из факторов целесообразно действовать так, как если бы все факторы были положительными, а затем присвоить результату соответствующий знак. Положительный знак ставится, если отрицательных знаков нет или четное число отрицательных знаков у факторов; знак минус ставится, если у факторов нечетное число знаков минус.
Пример 3
Когда дроби содержат алгебраические выражения, перед умножением необходимо по возможности разложить на множители и разделить общие множители.
Пример 4 Найдите произведение .
Решение Сначала мы должны разложить числители и знаменатели, чтобы получить
Теперь, разделив общие множители, мы получим
Теперь мы умножим оставшиеся множители числителей и знаменателей, чтобы получить
Обратите внимание, что при записи дробных ответов мы будем умножать числитель и оставлять знаменатель в разложенном виде.
Очень часто дроби более полезны в этой форме.
В алгебре мы часто переписываем выражение, например, как эквивалентное выражение. Используйте любую форму, наиболее удобную для конкретной задачи.
Пример 5
Распространенные ошибки: Помните, что мы можем разделить только общие факторы, но не общие термины! Например,
, потому что x — это терм, который нельзя разделить. Точно так же
, потому что 3 не является множителем всего числителя 3y + 2. . Это точно такое же понятие, как деление одного целого числа на другое; a ÷ b — это число q, частное, такое, что bq = a.
Чтобы найти , ищем такое число q, что . Чтобы решить это уравнение относительно q, мы умножаем каждый член уравнения на . Таким образом,
В приведенном выше примере мы называем число, обратное числу . В общем случае обратная дробь — это дробь. То есть мы получаем обратную дробь, «переворачивая» дробь. В общем,
Частное двух дробей равно произведению делимого и обратной величины делителя.
То есть, чтобы разделить одну дробь на другую, инвертируем делитель и умножаем. Символами
Пример 1
Как и при умножении, когда дроби в частном имеют присоединенные знаки, рекомендуется решить задачу так, как если бы все множители были положительными, а затем присвоить решению соответствующий знак.
Пример 2
Некоторые частные встречаются так часто, что полезно сразу распознавать эквивалентные формы. Один случай:
В общем,
Пример 3
Когда дроби в частном включают алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить на множители и разделить общие множители перед умножением. 9Пример 4 знаменатель одинаковый, а числитель равен сумме числителей исходных дробей.
В общем,
Пример 1
Когда используется вычитание, полезно перейти к стандартной форме перед сложением.
Пример 2
Мы должны быть особенно осторожны с биномиальными числителями.
Например, мы должны переписать
, где весь числитель заключен в круглые скобки.
СУММЫ ДРОБЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
В разделе 6.3 мы сложили дроби с одинаковыми знаменателями. В этом разделе мы будем складывать дроби с разными знаменателями.
НАИМЕНЬШИЙ ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ
В общем случае наименьшим общим знаменателем (НОД) набора дробей называется наименьшее натуральное число, кратное каждому из знаменателей набора дробей. Иногда мы можем получить ЖК-дисплей путем осмотра. Если ЖК-дисплей не виден сразу, мы можем использовать специальную процедуру, чтобы найти его.
Чтобы найти ЖК-дисплей:
- Полностью разложите каждый знаменатель, по возможности выравнивая общие множители.
- Включите в LCD каждый из этих множителей наибольшее количество раз, когда он встречается в любом отдельном знаменателе.
Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель дробей
Решение Наименьший общий знаменатель содержит среди своих множителей множители 12, 10 и 6.
Таким образом, LCD равно 60. (Это число равно наименьшее натуральное число, которое делится на 12, 10 и 6.)
LCD набора алгебраических дробей — простейшее алгебраическое выражение, кратное каждому из знаменателей набора. Таким образом, ЖК дробей
потому что это простейшее выражение, кратное каждому из знаменателей.
Пример 2 Найти ЛП дробей
Решение Следуя методике примера 1, получаем
Таким образом, ЛП равно х 2 (х + 1)(х — 1).
Мы можем складывать дроби с разными знаменателями, сначала составив дроби до эквивалентных дробей с одинаковыми знаменателями, а затем сложив.
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями:
- Найдите на ЖК-дисплее набор дробей.
- Приведите каждую дробь к эквивалентной дроби, используя ЖК-дисплей в качестве знаменателя.
- Сложите дроби, используя свойство
Пример 3 Запишите суммы и в виде отдельных членов.
Решение В каждом случае LCD равно 10. Мы преобразуем каждую дробь в дробь с 10 в знаменателе. Таким образом,
эквивалентны
, из которых мы получаем
Иногда дроби имеют знаменатели, которые являются биномами.
Пример 4 Запишите сумму в виде одного слагаемого.
Решение ЖК-дисплей равен (x + 2)(x — 1). Мы превращаем каждую дробь в дробь со знаменателем (x + 2)(x — 1), расставляя скобки по мере необходимости, и получаем
Теперь, когда у нас одинаковые знаменатели, мы можем сложить числители, упростить и получить
Пример 5 Запишите сумму как один член.
Решение Сначала мы факторизуем знаменатели, чтобы получить LCD.
Теперь мы преобразуем каждую дробь в дроби с этим знаменателем и получаем
Теперь мы можем сложить числители, упростить и получить
Общие ошибки Обратите внимание, что мы можем складывать дроби только с одинаковыми знаменателями.
Таким образом,
Кроме того, мы складываем только числители дробей с одинаковыми знаменателями. Таким образом,
РАЗНОСТИ ДРОБЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
Мы вычитаем дроби с разными знаменателями так же, как складываем такие дроби. Однако сначала запишем каждую дробь в стандартной форме. Таким образом, любая дробь в форме
сначала записывается как
Теперь мы можем сложить дроби.
Пример 1 Запишите разницу в виде одного термина.
Решение Начнем с записи в стандартной форме как . ЖК-дисплей 12x. Мы приводим каждую дробь к эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить
Теперь сложение числителей дает
Опять же, с биномиальными числителями следует соблюдать особую осторожность.
Пример 2 Запишите разницу в виде одного термина.
Сначала решение должно быть записано как
, где весь числитель заключен в круглые скобки. Затем мы получаем LCD 6 и превращаем каждую дробь в дроби со знаменателем 6, добавляем числители и упрощаем.
В следующих примерах используются биномиальные знаменатели.
Пример 3 Запишите разницу в виде одного термина.
Решение Начнем с записи в стандартной форме как . LCD равен (x — l)(x + 2), и мы преобразуем каждую дробь в эквивалентную дробь с этим знаменателем, чтобы получить
Теперь складываем числители и упрощаем выходы
Пример 4 Запишем разницу
как один член
Решение Сначала мы разложим знаменатели и запишем дроби в стандартной форме, чтобы получить
Находим LCD (x + 7)(x — 3)(x + 3) и приводим каждую дробь к эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить
Теперь складываем числители и упрощаем выход
СЛОЖНЫЕ Дроби
Дробь, которая содержит одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих случаях, называется сложной дробью. Например,
— сложные дроби. Как и простые дроби, сложные дроби представляют собой частные.
Например,
В случаях, подобных уравнению (1), в котором числитель и знаменатель сложной дроби не содержат суммы или разности, мы можем просто инвертировать делитель и умножить. То есть
В случаях, подобных уравнению (2), в котором числитель или знаменатель сложной дроби содержит суммы или разности, мы не можем просто инвертировать делитель и умножить. Однако мы можем использовать фундаментальный принцип дробей для упрощения сложных дробей. Фактически, мы также можем использовать фундаментальный принцип для упрощения сложных дробей формы (1) выше.
Пример 1 Упростите, используя фундаментальный принцип дробей.
Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК всех дробей в числителе и знаменателе; в этом случае LCD равно 4. Результатом является простая дробь, эквивалентная данной сложной дроби.
Упрощение уравнения (2) на стр. 255 показано в следующем примере.
Пример 2 Упростить
Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК всех дробей в числителе и знаменателе; в данном случае ЖК равно 6.
Получаем
УРАВНЕНИЯ Дробей
Чтобы решить уравнение, содержащее дроби, обычно проще всего сначала найти эквивалентное уравнение, не содержащее дробей. Мы делаем это, умножая каждый член уравнения на наименьший общий знаменатель дробей.
Хотя мы можем применять изученные алгебраические свойства в любом порядке, следующие шаги показывают порядок, наиболее полезный для решения уравнения, когда решение не очевидно. Конечно, не всегда все шаги необходимы.
Чтобы решить уравнение:
- Очистить дроби, если они есть, путем умножения каждого члена уравнения на ЖК-дисплей.
- Запишите любое выражение, содержащее скобки, как выражение без скобок.
- Объедините любые похожие термины в любой элемент.
- Получить все термины, содержащие переменную в одном элементе, и все термины, не содержащие переменную, в другом элементе.
- Разделить каждый член на коэффициент переменной, если он отличен от 1.
- Проверьте ответ, если каждый член уравнения был умножен на выражение, содержащее переменную.
Пример 1 Решить .
Решение Умножим каждый член на LCD 15, чтобы получить эквивалентное уравнение, не содержащее дробей.
Свойство равенства умножения (раздел 3.4) позволяет нам умножать каждый член уравнения на ненулевое значение, чтобы получить эквивалентное уравнение. Таким образом, для решения уравнения
мы умножаем каждый элемент на LCD 4(x — 5). Заметим, что x не может равняться 5, так как 4(x — 5) равно 0, если x = 5. Все решение показано в следующем примере.
Пример 2 Решить .
Решение Умножаем каждый элемент на LCD 4(x — 5), чтобы получить
Применяя свойство распределения, получаем
Решение для x дает
-21x = -189; x = 9
Обратите внимание, что 4(x — 5) не равно нулю для a = 9. Таким образом, a = 9 является допустимым решением уравнения.
Когда уравнения содержат более одной переменной, иногда желательно решить для одной переменной через другие переменные.
Пример 3 Найдите a через a, b и c.
Решение Умножим каждый член на LDC 3xc, чтобы получить
Теперь, разделив каждый член на 2x, мы получим
ПРИЛОЖЕНИЯ
Словесные задачи в следующих упражнениях приводят к уравнениям с дробями. В это время вы можете просмотреть шаги, предлагаемые для решения текстовых задач, и шаги, предложенные на странице 260, для решения уравнений, содержащих дроби.
Пример 1 Если определенное число прибавить к числу, получится 11. Найдите число.
Решение
Шаги 1-2 Сначала мы записываем то, что хотим найти (число), в виде словосочетания. Затем мы представляем число в терминах переменной.
Номер: x
Шаг 3 Эскиз не применим.
Шаг 4 Теперь мы можем написать уравнение. Помните, что «из» указывает на умножение.
Шаг 5 Решение уравнения дает
Шаг 6 Число равно 12.
Уравнения для задач, связанных с движением, иногда включают дроби. Основная идея задач движения состоит в том, что пройденное расстояние d равно произведению скорости перемещения r и времени перемещения t.
Таким образом, d = rt. Мы можем решить эту формулу для r или t, чтобы получить:
Таблица, показанная в следующем примере, полезна при решении задач движения.
Пример 2 Экспресс-поезд проходит 180 миль за то же время, что и грузовой поезд проходит 120 миль. Если экспресс идет на 20 миль в час быстрее грузового, найдите скорость каждого из них.
Шаги решения 1-2 Мы представляем две неизвестные величины, которые мы хотим найти, в виде словосочетаний. Затем мы представляем словосочетания в терминах одной переменной.
Тариф грузового поезда: r
Тариф экспресса: r + 20
Шаг 3 Далее мы составляем таблицу, в которой указаны расстояния, скорости и время.
Шаг 4 Поскольку время обоих поездов одинаковое, мы можем приравнять выражения для времени, чтобы получить
Шаг 5 Теперь мы можем найти r, сначала умножив каждый член на LCD r(r + 120) и мы получаем
Шаг 6 Скорость грузового поезда составляет 40 миль в час, а скорость экспресса — 40 + 20, или 60 миль в час.
ОТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИЯ
Частное двух чисел, a ÷ b или , иногда называют отношением и читают как «отношение a к b». Это удобный способ сравнить два числа.
Пример 1 Выразите в виде соотношения.
а. от 3 до 5 дюймов
b. от 8 м до 12 м
c. От 6 до 10
Решения
Утверждение, что два отношения равны, например,
называется пропорцией и читается как «2 к 3, как 4 к 6» и «a к b, как c к d». Числа a, b, c и d называются соответственно первым, вторым, третьим и четвертым членами пропорции. Первый и четвертый члены называются экстремумами пропорции, а второй и третий члены называются средними.
Пример 2 Выразите в пропорции.
Если каждое отношение в пропорции
умножить на bd, то получится
Таким образом,
Произведение крайних значений в любой пропорции равно произведению средних.
Пропорция — это особый тип дробного уравнения. Приведенное выше правило получения эквивалентного уравнения без знаменателей является частным случаем нашего общего подхода.
Пример 3 Решите пропорцию .
Решение Применяя свойство (1) выше, мы получаем
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Мы можем использовать пропорции для преобразования английских единиц измерения в метрические и наоборот. Следующие базовые соотношения помогут установить соответствующие пропорции конверсий.
1 метр (м) = 39,37 дюйма (дюйм)
1 килограмм (кг) = 2,2 фунта (фунт)
1 километр (км) = 0,62 мили (миля)
1 литр (1) = 1,06 кварты (qt)
1 фунт (lb) = 454 грамма (g)
1 дюйм (in.) = 2,54 сантиметра (cm)
При преобразовании единиц проще всего выполнить шесть описанных шагов.
Пример 4 Замените 8 дюймов на сантиметры.
Решение
Шаги 1-2 Представьте, что нужно найти (в сантиметрах), в терминах словосочетания и в терминах переменной.
Сантиметры: x
Шаг 3 Составьте таблицу, показывающую базовое соотношение между дюймами и сантиметрами.
Шаг 4 Используя таблицу из Шага 3, напишите соотношение дюймов к сантиметрам.
Шаг 5 Найдите x, приравняв произведение средних к произведению крайних значений.
8(2,54) = 1 · х
20,32 = х
Шаг 6 Восемь дюймов равны 20,32 сантиметра.
РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ
Следующие свойства используются для перезаписи произведений и частных дробей.
Наименьшее натуральное число, кратное каждому из знаменателей набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (НОД) дробей. Следующие свойства используются для перезаписи сумм и разностей дробей.
Дробь, которая содержит одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется сложной дробью . Мы можем упростить сложную дробь, умножив числитель и знаменатель на ЖК всех дробей в числителе и знаменателе.
Мы можем решить уравнение, содержащее дроби, получив эквивалентное уравнение, решение которого очевидно при проверке. Как правило, лучше всего получить эквивалентное уравнение, свободное от дробей, путем умножения каждого члена уравнения на LCD дробей.
Частное двух чисел называется отношением ; утверждение о равенстве двух отношений называется пропорцией . В пропорции
a и d называются крайностями пропорции, а b и c называются средними . В любой пропорции этой формы
ad = bc
Калькулятор степени упрощения дробей
упрощенный калькулятор степени дроби
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.2005 
08.2005 
Я абсолютно уверен, что вам это тоже будет полезно.
Используйте его только как руководство, чтобы понять и прояснить свои концепции.